与えられた数式を因数分解する問題です。具体的には、以下の9つの式を因数分解します。 (1) $6a^2b + 3ab^2$ (2) $2x^2 + 2xy - 6x$ (3) $4ax^2 - 12a^2x$ (4) $x(x+1) + 2(x+1)$ (5) $(a-1)x - (a-1)$ (6) $a(x-y) - 2(y-x)$ (7) $2a(a-3b) + b(3b-a)$ (8) $x^2 + 6x + 9$ (9) $x^2 - 8x + 16$ (10) $16a^2 + 24a + 9$ (11) $x^2 + 4xy + 4y^2$ (12) $9x^2 + 12xy + 4y^2$ (13) $a^2 - 10ab + 25b^2$ (14) $4x^2 - 25y^2$ (15) $36x^2y^2 - 49$ (16) $50a^2 - 2b^2$

1. 問題の内容

与えられた数式を因数分解する問題です。具体的には、以下の9つの式を因数分解します。

(1) $6a^2b + 3ab^2$

(2) $2x^2 + 2xy - 6x$

(3) $4ax^2 - 12a^2x$

(4) $x(x+1) + 2(x+1)$

(5) $(a-1)x - (a-1)$

(6) $a(x-y) - 2(y-x)$

(7) $2a(a-3b) + b(3b-a)$

(8) $x^2 + 6x + 9$

(9) $x^2 - 8x + 16$

(10) $16a^2 + 24a + 9$

(11) $x^2 + 4xy + 4y^2$

(12) $9x^2 + 12xy + 4y^2$

(13) $a^2 - 10ab + 25b^2$

(14) $4x^2 - 25y^2$

(15) $36x^2y^2 - 49$

(16) $50a^2 - 2b^2$

2. 解き方の手順

(1) $6a^2b + 3ab^2 = 3ab(2a + b)$

共通因数 $3ab$ でくくり出す。

(2) $2x^2 + 2xy - 6x = 2x(x + y - 3)$

共通因数 $2x$ でくくり出す。

(3) $4ax^2 - 12a^2x = 4ax(x - 3a)$

共通因数 $4ax$ でくくり出す。

(4) $x(x+1) + 2(x+1) = (x+1)(x+2)$

共通因数 $(x+1)$ でくくり出す。

(5) $(a-1)x - (a-1) = (a-1)(x-1)$

共通因数 $(a-1)$ でくくり出す。

(6) $a(x-y) - 2(y-x) = a(x-y) + 2(x-y) = (x-y)(a+2)$

$y-x = -(x-y)$を利用して共通因数を作る。

(7) $2a(a-3b) + b(3b-a) = 2a^2 - 6ab + 3b^2 - ab = 2a^2 - 7ab + 3b^2 = (2a - b)(a - 3b)$

展開して整理し、因数分解する。

(8) $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$

$(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$ の公式を利用する。

(9) $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$

$(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$ の公式を利用する。

(10) $16a^2 + 24a + 9 = (4a+3)^2$

$(ax+b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2$の公式を利用する。

(11) $x^2 + 4xy + 4y^2 = (x+2y)^2$

$(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$ の公式を利用する。

(12) $9x^2 + 12xy + 4y^2 = (3x+2y)^2$

$(ax+b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2$の公式を利用する。

(13) $a^2 - 10ab + 25b^2 = (a-5b)^2$

$(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$ の公式を利用する。

(14) $4x^2 - 25y^2 = (2x+5y)(2x-5y)$

$x^2 - a^2 = (x+a)(x-a)$ の公式を利用する。

(15) $36x^2y^2 - 49 = (6xy+7)(6xy-7)$

$x^2 - a^2 = (x+a)(x-a)$ の公式を利用する。

(16) $50a^2 - 2b^2 = 2(25a^2 - b^2) = 2(5a+b)(5a-b)$

共通因数2でくくり出し、$x^2 - a^2 = (x+a)(x-a)$ の公式を利用する。

3. 最終的な答え

(1) $3ab(2a + b)$

(2) $2x(x + y - 3)$

(3) $4ax(x - 3a)$

(4) $(x+1)(x+2)$

(5) $(a-1)(x-1)$

(6) $(x-y)(a+2)$

(7) $(2a - b)(a - 3b)$

(8) $(x+3)^2$

(9) $(x-4)^2$

(10) $(4a+3)^2$

(11) $(x+2y)^2$

(12) $(3x+2y)^2$

(13) $(a-5b)^2$

(14) $(2x+5y)(2x-5y)$

(15) $(6xy+7)(6xy-7)$

(16) $2(5a+b)(5a-b)$