与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解してください。

## 問題1

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与式を展開し、同類項をまとめて、因数分解しやすい形にします。

$a$ についての多項式とみて整理します。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc = a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 2abc$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + b^2c + bc^2$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$= (b+c)(a^2 + a(b+c) + bc)$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

$= (b+c)(a(a+b) + c(a+b))$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$

## 問題2

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b-c)(ab-bc-ca) + abc$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与式を展開し、同類項をまとめて、因数分解しやすい形にします。

$(a+b-c)(ab-bc-ca) + abc = a^2b - abc - ca^2 + ab^2 - b^2c - abc - abc + bc^2 + c^2a + abc$

$= a^2b - abc - ca^2 + ab^2 - b^2c - abc - abc + bc^2 + ac^2 + abc$

$= a^2b + ab^2 + ac^2 + bc^2 - a^2c - b^2c - 2abc$

$= a^2(b-c) + a(b^2 - 2bc + c^2) + bc(c-b)$

$= a^2(b-c) + a(b-c)^2 - bc(b-c)$

$= (b-c)[a^2 + a(b-c) - bc]$

$= (b-c)[a^2 + ab - ac - bc]$

$= (b-c)[a(a+b) - c(a+b)]$

$= (b-c)(a+b)(a-c)$

$= -(c-b)(a+b)(a-c)$

$= (a+b)(c-a)(c-b)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(c-a)(c-b)$

## 問題3

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与式を展開し、同類項をまとめて、因数分解しやすい形にします。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

$= a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + abc + 2abc$

$= a^2b + ab^2 + abc + b^2c + bc^2 + abc + c^2a + ca^2 + abc$

$= ab(a+b+c) + bc(a+b+c) + ca(a+b+c)$

$= (a+b+c)(ab+bc+ca)$

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$