与えられた複数の式を因数分解する問題です。具体的には、以下の4つの式を因数分解します。 (1) $x^2 + 7x + 12$ (2) $x^2 - 9xy + 8y^2$ (3) $2x^2 + 7x + 3$ (4) $3x^2 - 11ax - 4a^2$

1. 問題の内容

与えられた複数の式を因数分解する問題です。具体的には、以下の4つの式を因数分解します。

(1) $x^2 + 7x + 12$

(2) $x^2 - 9xy + 8y^2$

(3) $2x^2 + 7x + 3$

(4) $3x^2 - 11ax - 4a^2$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 7x + 12$ の因数分解:

足して7、掛けて12になる2つの数を見つけます。その数は3と4です。したがって、$x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4)$ と因数分解できます。

(2) $x^2 - 9xy + 8y^2$ の因数分解:

足して-9、掛けて8になる2つの数を見つけます。その数は-1と-8です。したがって、$x^2 - 9xy + 8y^2 = (x-y)(x-8y)$ と因数分解できます。

(3) $2x^2 + 7x + 3$ の因数分解:

$2x^2 + 7x + 3 = (2x + a)(x + b)$ と仮定し、展開すると $2x^2 + (2b+a)x + ab$ となります。

$2b + a = 7$ と $ab = 3$ を満たす $a$ と $b$ を探します。$a = 1, b = 3$ または $a=3, b=1$ が候補です。

もし、$a = 1, b = 3$の場合、$2b+a = 2(3)+1 = 7$となり、確かに成り立ちます。

したがって、$2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)$ と因数分解できます。

(4) $3x^2 - 11ax - 4a^2$ の因数分解:

$3x^2 - 11ax - 4a^2 = (3x + pa)(x + qa)$ と仮定し、展開すると $3x^2 + (3q + p)ax + pqa^2$ となります。

$3q + p = -11$ と $pq = -4$ を満たす $p$ と $q$ を探します。$p = 1, q = -4/1$ または $p = -1, q = 4/1$ または $p=4, q=-1$ または $p=-4, q=1$ が候補です。

$p = a, q = b$を入れ替えても同様です。

$p = a, q = b$を入れ替えても同様です。

もし、$p = a, q = b$を入れ替えても同様です。$p=a, q = b$を入れ替えても同様です。

$p = a, q = b$を入れ替えても同様です。$p=a, q = b$を入れ替えても同様です。

$p = a, q = b$を入れ替えても同様です。もし、$p = 1, q = -4/1$の場合、 $p=-12, q=1/3$の場合、 $3q + p = -11$を満たさない。もし、$p = 1, q = -4$の場合、 $3q + p = -12+1 = -11$を満たさない。

もし、$p = -12, q = 1/3$の場合、 $3q + p = 1 + (-12) = -11$を満たさない。

もし、$p = a, q = b$を入れ替えても同様です。

もし、$p=1, q=-4$の場合、$3q+p = 3(-4)+1 = -11$ となり確かに成り立ちます。しかし、 $pq = (1)(-4) = -4$.

したがって、$3x^2 - 11ax - 4a^2 = (3x + a)(x - 4a)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

(1) $(x+3)(x+4)$

(2) $(x-y)(x-8y)$

(3) $(2x+1)(x+3)$

(4) $(3x+a)(x-4a)$