$a > 0$ かつ $b > 0$ のとき、不等式 $\sqrt{2(a+b)} \ge \sqrt{a} + \sqrt{b}$ が成り立つことを証明します。

1. 問題の内容

$a > 0$ かつ $b > 0$ のとき、不等式 $\sqrt{2(a+b)} \ge \sqrt{a} + \sqrt{b}$ が成り立つことを証明します。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺が正であることに注意して、両辺を2乗します。

$(\sqrt{2(a+b)})^2 \ge (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$

$2(a+b) \ge a + 2\sqrt{ab} + b$

$2a + 2b \ge a + b + 2\sqrt{ab}$

$a + b \ge 2\sqrt{ab}$

$a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$ は常に0以上であるため、上記の不等式は常に成り立ちます。

したがって、$\sqrt{2(a+b)} \ge \sqrt{a} + \sqrt{b}$ も成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a > 0$ かつ $b > 0$ のとき、不等式 $\sqrt{2(a+b)} \ge \sqrt{a} + \sqrt{b}$ は成り立つ。