二次関数 $y = -2x^2 - 4x + 2$ の $-2 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -2x^2 - 4x + 2$ の $-2 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 - 4x + 2$

$y = -2(x^2 + 2x) + 2$

$y = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 2$

$y = -2((x+1)^2 - 1) + 2$

$y = -2(x+1)^2 + 2 + 2$

$y = -2(x+1)^2 + 4$

この平方完成の結果から、頂点の座標は $(-1, 4)$ であり、上に凸なグラフであることがわかります。

次に、定義域 $-2 \le x \le 2$ における関数の最大値と最小値を考えます。

頂点のx座標は $x=-1$ であり、これは定義域 $-2 \le x \le 2$ に含まれています。

したがって、$x = -1$ で最大値 $y = 4$ をとります。

次に、定義域の端の点における関数の値を調べます。

$x = -2$ のとき、$y = -2(-2)^2 - 4(-2) + 2 = -2(4) + 8 + 2 = -8 + 8 + 2 = 2$

$x = 2$ のとき、$y = -2(2)^2 - 4(2) + 2 = -2(4) - 8 + 2 = -8 - 8 + 2 = -14$

したがって、定義域の端点でのyの値は、$x=-2$のとき$y=2$、$x=2$のとき$y=-14$です。

これらと頂点でのyの値$y=4$を比較すると、最大値は$y=4$、最小値は$y=-14$となります。

3. 最終的な答え

最大値: 4 (x = -1のとき)

最小値: -14 (x = 2のとき)