関数 $f(x) = x^2 - 2$ と $g(x) = \sqrt{x} + 1$ が与えられたとき、合成関数 $g(f(x))$ の定義域を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2$ と $g(x) = \sqrt{x} + 1$ が与えられたとき、合成関数 $g(f(x))$ の定義域を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数 $g(f(x))$ を求めます。

$g(f(x)) = \sqrt{f(x)} + 1 = \sqrt{x^2 - 2} + 1$

次に、$g(f(x))$ の定義域を求めます。

平方根の中身が非負である必要があるため、$x^2 - 2 \geq 0$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

$x^2 - 2 \geq 0$

$x^2 \geq 2$

$x \leq -\sqrt{2}$ または $x \geq \sqrt{2}$

したがって、$g(f(x))$ の定義域は、$x \leq -\sqrt{2}$ または $x \geq \sqrt{2}$ となります。

区間表記では、$(-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$ となります。

3. 最終的な答え

$(-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$