実数 $x, y$ に対して $0 < x < y$ かつ $x + y = 1$ ならば、$x < x^2 + y^2 < y$ が成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ に対して $0 < x < y$ かつ $x + y = 1$ ならば、$x < x^2 + y^2 < y$ が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x+y = 1$ より $y = 1 - x$ となります。また、$0 < x < y$ より、$0 < x < 1 - x$。この不等式から $0 < x < \frac{1}{2}$ であることが分かります。

次に、$x^2 + y^2$ を $x$ だけで表します。

$x^2 + y^2 = x^2 + (1-x)^2 = x^2 + 1 - 2x + x^2 = 2x^2 - 2x + 1$

$x < x^2 + y^2$ を示すために、$x < 2x^2 - 2x + 1$ を示します。

$0 < 2x^2 - 3x + 1$

$0 < (2x - 1)(x - 1)$

$0 < x < \frac{1}{2}$ より、$2x - 1 < 0$ かつ $x - 1 < 0$。したがって、$(2x - 1)(x - 1) > 0$ なので、$x < x^2 + y^2$ が成り立ちます。

次に、$x^2 + y^2 < y$ を示すために、$2x^2 - 2x + 1 < 1 - x$ を示します。

$2x^2 - x < 0$

$x(2x - 1) < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$ より、$x > 0$ かつ $2x - 1 < 0$。したがって、$x(2x - 1) < 0$ なので、$x^2 + y^2 < y$ が成り立ちます。

したがって、$x < x^2 + y^2 < y$ が成り立つことが示されました。

3. 最終的な答え

$x < x^2 + y^2 < y$ が成り立つ。