(1) $1-ab \neq 0$ のとき、2次正方行列 $\begin{bmatrix} 1 & a \\ b & 1 \end{bmatrix}$ が正則であることを示す。 (2) $n$次正方行列 $A, B$ に対して、$I - AB$ が正則行列であるとき、$2n$次正方行列 $\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}$ が正則であることを示す。

1. 問題の内容

(1) $1-ab \neq 0$ のとき、2次正方行列 $\begin{bmatrix} 1 & a \\ b & 1 \end{bmatrix}$ が正則であることを示す。

(2) $n$次正方行列 $A, B$ に対して、$I - AB$ が正則行列であるとき、$2n$次正方行列 $\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}$ が正則であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $\begin{bmatrix} 1 & a \\ b & 1 \end{bmatrix}$ の行列式を計算します。行列式が0でないことを示せば、この行列は正則であると言えます。行列式は、$1 \times 1 - a \times b = 1 - ab$ となります。条件より、$1 - ab \neq 0$ なので、行列式は0ではありません。したがって、この行列は正則です。

(2) 行列 $\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}$ の正則性を示すために、ある行列 $X$ が存在して、

$\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix} X = I$ （ここで$I$は$2n$次の単位行列）となることを示します。

$X$を$\begin{bmatrix} X_1 & X_2 \\ X_3 & X_4 \end{bmatrix}$ （$X_1, X_2, X_3, X_4$は$n$次の正方行列）とおきます。

$\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_1 & X_2 \\ X_3 & X_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix}$

これを計算すると、以下の連立方程式を得ます。

$X_1 + AX_3 = I$

$X_2 + AX_4 = 0$

$BX_1 + X_3 = 0$

$BX_2 + X_4 = I$

3番目の式から、$X_3 = -BX_1$を得ます。

これを1番目の式に代入すると、$X_1 - ABX_1 = I$ となり、$(I - AB)X_1 = I$ が得られます。

条件より、$I-AB$ は正則なので、$X_1 = (I - AB)^{-1}$ となります。

したがって、$X_3 = -B(I - AB)^{-1}$ となります。

次に、4番目の式から、$X_4 = I - BX_2$を得ます。

これを2番目の式に代入すると、$X_2 + A(I - BX_2) = 0$ となり、$X_2 + A - ABX_2 = 0$ が得られます。

したがって、$(I - AB)X_2 = -A$ となり、$X_2 = -(I - AB)^{-1}A$ となります。

最後に、$X_4 = I - B(-(I-AB)^{-1}A) = I + B(I-AB)^{-1}A$ となります。

よって、

$X = \begin{bmatrix} (I-AB)^{-1} & -(I-AB)^{-1}A \\ -B(I-AB)^{-1} & I + B(I-AB)^{-1}A \end{bmatrix}$

とすることで、

$\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}$は正則であることが示されました。

3. 最終的な答え

(1) $1-ab \neq 0$ ならば、2次正方行列 $\begin{bmatrix} 1 & a \\ b & 1 \end{bmatrix}$ は正則である。

(2) $n$次正方行列 $A, B$ に対して、$I - AB$ が正則行列ならば、$2n$次正方行列 $\begin{bmatrix} I & A \\ B & I \end{bmatrix}$ は正則である。