実数 $p, q$ は $p < q$ を満たすとする。実数 $a, b$ に対して、2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の全ての解が $p$ 以上 $q$ 以下の実数であるような点 $(a, b)$ 全体からなる領域を $ab$ 平面に図示し、その領域の面積を $p, q$ の式で表せ。

1. 問題の内容

実数 $p, q$ は $p < q$ を満たすとする。実数 $a, b$ に対して、2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の全ての解が $p$ 以上 $q$ 以下の実数であるような点 $(a, b)$ 全体からなる領域を $ab$ 平面に図示し、その領域の面積を $p, q$ の式で表せ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

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\alpha + \beta = -a \\

\alpha \beta = b

$$$$

解が $p$ 以上 $q$ 以下である条件は、$p \le \alpha \le q$ かつ $p \le \beta \le q$ である。

まず、2つの解が実数解である条件を考える。判別式 $D = a^2 - 4b \ge 0$ より、$b \le \frac{a^2}{4}$ である。

2つの解 $\alpha, \beta$ が $p \le \alpha, \beta \le q$ を満たすためには、以下の条件が必要十分である。

\begin{enumerate}

\item $a^2 - 4b \ge 0$ (実数解を持つ)

\item $p \le \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2} \le q$

\end{enumerate}

これを整理する。

$p \le x \le q$ が $x^2 + ax + b = 0$ の解であるためには、放物線 $y = x^2 + ax + b$ の軸 $x = -\frac{a}{2}$ が区間 $[p, q]$ にあり、$y = p^2 + ap + b$ と $y = q^2 + aq + b$ が非負で、$a^2 - 4b \ge 0$ である必要がある。つまり、

\begin{enumerate}

\item $p \le -\frac{a}{2} \le q \iff -2q \le a \le -2p$

\item $f(p) = p^2 + ap + b \ge 0 \iff b \ge -p^2 - ap$

\item $f(q) = q^2 + aq + b \ge 0 \iff b \ge -q^2 - aq$

\end{enumerate}

また、$b \le \frac{a^2}{4}$ である。

領域を定める不等式は、次の4つである。

\begin{enumerate}

\item $-2q \le a \le -2p$

\item $b \ge -p^2 - ap$

\item $b \ge -q^2 - aq$

\item $b \le \frac{a^2}{4}$

\end{enumerate}

放物線 $b = \frac{a^2}{4}$ と直線 $b = -p^2 - ap$ の交点の $a$ 座標は $\frac{a^2}{4} = -p^2 - ap \iff a^2 + 4ap + 4p^2 = 0 \iff (a+2p)^2 = 0 \iff a = -2p$ であり、同様に、放物線 $b = \frac{a^2}{4}$ と直線 $b = -q^2 - aq$ の交点の $a$ 座標は $a = -2q$ である。

また、$g(a) = -p^2 - ap$ と $h(a) = -q^2 - aq$ の交点は $-p^2 - ap = -q^2 - aq \iff a(q-p) = p^2 - q^2 \iff a = -(p+q)$.

$-(p+q)$ は $-2q \le a \le -2p$ を満たす。

面積を求める。領域の面積は

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\int_{-2q}^{-2p} \left( \frac{a^2}{4} - \max(-p^2 - ap, -q^2 - aq) \right) da

$$$$

$a = -(p+q)$ のとき、$-p^2 - ap = -p^2 + (p+q)p = pq$ であり、$-q^2 - aq = -q^2 + (p+q)q = pq$ となる。

したがって、求める面積は

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\int_{-2q}^{-(p+q)} \left( \frac{a^2}{4} - (-q^2 - aq) \right) da + \int_{-(p+q)}^{-2p} \left( \frac{a^2}{4} - (-p^2 - ap) \right) da

$$$$

$$$$

= \int_{-2q}^{-(p+q)} \left( \frac{a^2}{4} + q^2 + aq \right) da + \int_{-(p+q)}^{-2p} \left( \frac{a^2}{4} + p^2 + ap \right) da

$$$$

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= \left[ \frac{a^3}{12} + q^2 a + \frac{a^2 q}{2} \right]_{-2q}^{-(p+q)} + \left[ \frac{a^3}{12} + p^2 a + \frac{a^2 p}{2} \right]_{-(p+q)}^{-2p}

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= \frac{1}{6}(q-p)^3

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3. 最終的な答え

領域の面積は $\frac{1}{6}(q-p)^3$