$(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

## 数学の問題の解答

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1. 問題の内容

以下の4つの式をそれぞれ展開し、整理せよ。

(1) $(x+2)(x+3)+(x-1)^2$

(2) $(x-6)(x-9)-2x(x-13)$

(3) $(x-y-1)^2$

(4) $(a+b-2)(a+b+4)$

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2. 解き方の手順

#### (1) $(x+2)(x+3)+(x-1)^2$

1. $(x+2)(x+3)$ を展開する。

$(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

2. $(x-1)^2$ を展開する。

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

3. 二つの展開した式を足し合わせる。

$x^2 + 5x + 6 + x^2 - 2x + 1 = 2x^2 + 3x + 7$

#### (2) $(x-6)(x-9)-2x(x-13)$

1. $(x-6)(x-9)$ を展開する。

$(x-6)(x-9) = x^2 - 9x - 6x + 54 = x^2 - 15x + 54$

2. $2x(x-13)$ を展開する。

$2x(x-13) = 2x^2 - 26x$

3. 二つの展開した式を引き算する。

$x^2 - 15x + 54 - (2x^2 - 26x) = x^2 - 15x + 54 - 2x^2 + 26x = -x^2 + 11x + 54$

#### (3) $(x-y-1)^2$

1. $(x-y-1)$ を $(x-y-1)(x-y-1)$ と考える。

2. 展開する。

$(x-y-1)(x-y-1) = x(x-y-1) - y(x-y-1) -1(x-y-1) = x^2 - xy - x - xy + y^2 + y - x + y + 1 = x^2 + y^2 - 2xy - 2x + 2y + 1$

#### (4) $(a+b-2)(a+b+4)$

1. $A = a+b$ と置く

2. 式は $(A-2)(A+4)$ となる。

3. 展開する。

$(A-2)(A+4) = A^2 + 4A - 2A - 8 = A^2 + 2A - 8$

4. $A = a+b$ を代入する。

$(a+b)^2 + 2(a+b) - 8 = a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b - 8$

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3. 最終的な答え

(1) $2x^2 + 3x + 7$

(2) $-x^2 + 11x + 54$

(3) $x^2 + y^2 - 2xy - 2x + 2y + 1$

(4) $a^2 + b^2 + 2ab + 2a + 2b - 8$