$x \geq 0$ のとき、不等式 $2x^3 \geq a(x^2-3)$ が成り立つような実数 $a$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x \geq 0$ のとき、不等式 $2x^3 \geq a(x^2-3)$ が成り立つような実数 $a$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を $a$ について解くことを考えます。

$2x^3 \geq a(x^2-3)$

$x^2-3$ の符号によって場合分けを行います。

(i) $x^2-3 > 0$ のとき、つまり $x > \sqrt{3}$ のとき、

$a \leq \frac{2x^3}{x^2-3}$

(ii) $x^2-3 < 0$ のとき、つまり $0 \leq x < \sqrt{3}$ のとき、

$a \geq \frac{2x^3}{x^2-3}$

(iii) $x^2-3 = 0$ のとき、つまり $x=\sqrt{3}$ のとき、

$2(\sqrt{3})^3 \geq a((\sqrt{3})^2-3)$

$6\sqrt{3} \geq a(0)$

$6\sqrt{3} \geq 0$

これは常に成り立つため、 $a$ についての条件は得られません。

$f(x) = \frac{2x^3}{x^2-3}$ とおくと、$x > \sqrt{3}$ において $a \leq f(x)$ となる $a$ の最大値と、$0 \leq x < \sqrt{3}$ において $a \geq f(x)$ となる $a$ の最小値を考えます。

$f'(x) = \frac{6x^2(x^2-3) - 2x^3(2x)}{(x^2-3)^2} = \frac{6x^4 - 18x^2 - 4x^4}{(x^2-3)^2} = \frac{2x^4 - 18x^2}{(x^2-3)^2} = \frac{2x^2(x^2 - 9)}{(x^2-3)^2}$

$x > \sqrt{3}$ において、$f'(x) = 0$ となるのは $x=3$ のときです。

$x > 3$ のとき、$f'(x) > 0$ なので $f(x)$ は増加します。

$\sqrt{3} < x < 3$ のとき、$f'(x) < 0$ なので $f(x)$ は減少します。

したがって、$f(x)$ は $x=3$ で極小値をとります。

$f(3) = \frac{2 \cdot 3^3}{3^2 - 3} = \frac{54}{6} = 9$

$x \rightarrow \sqrt{3}^+$ のとき、$f(x) \rightarrow \infty$ となります。

したがって、$x > \sqrt{3}$ において $a \leq f(x)$ が成り立つための条件は $a \leq 9$ です。

次に、$0 \leq x < \sqrt{3}$ について考えます。

$x=0$ のとき、$0 \geq a(0-3)$ より $0 \geq -3a$ となり、$a \geq 0$

$x \rightarrow \sqrt{3}^-$ のとき、$f(x) \rightarrow -\infty$ となります。

$a \geq f(x)$ が常に成り立つためには、$a \geq 0$ が必要です。

したがって、aの取りうる値の範囲は、$a \leq 0$

3. 最終的な答え

$a \leq 0$