与えられた3つの式を展開する問題です。 (1) $x(x+1)(x+2)(x+3)$ (2) $(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$ (3) $(x-2)(x+5)(x-5)(x+2)$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を展開する問題です。

(1) $x(x+1)(x+2)(x+3)$

(2) $(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$

(3) $(x-2)(x+5)(x-5)(x+2)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x(x+3)$と$(x+1)(x+2)$をそれぞれ計算します。

$x(x+3) = x^2 + 3x$

$(x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2$

ここで、$A = x^2 + 3x$ とおくと、与式は$A(A+2)$となります。

$A(A+2) = A^2 + 2A$

$A$に$x^2 + 3x$を代入します。

$(x^2 + 3x)^2 + 2(x^2 + 3x) = x^4 + 6x^3 + 9x^2 + 2x^2 + 6x = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x$

(2)

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$

$(x-2)(x-4) = x^2 - 6x + 8$

したがって、与式は$(x^2 - 1)(x^2 - 6x + 8)$となります。

$(x^2 - 1)(x^2 - 6x + 8) = x^4 - 6x^3 + 8x^2 - x^2 + 6x - 8 = x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 8$

(3)

$(x-2)(x+2) = x^2 - 4$

$(x+5)(x-5) = x^2 - 25$

したがって、与式は$(x^2 - 4)(x^2 - 25)$となります。

$(x^2 - 4)(x^2 - 25) = x^4 - 25x^2 - 4x^2 + 100 = x^4 - 29x^2 + 100$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x$

(2) $x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 8$

(3) $x^4 - 29x^2 + 100$