放物線 $y = x^2 + 2x$ を $y$軸に関して対称移動し、さらに$x$軸方向に $-4$、$y$軸方向に $4$ だけ平行移動した放物線を $C_1$ とする。また、放物線 $y = x^2 + 2x$ を $x$軸に関して対称移動し、さらに $y$軸方向に $p$ だけ平行移動した放物線を $C_2$ とする。$C_1$ と $C_2$ が接するとき、定数 $p$ の値とそのときの接点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 2x$ を $y$軸に関して対称移動し、さらに$x$軸方向に $-4$、$y$軸方向に $4$ だけ平行移動した放物線を $C_1$ とする。また、放物線 $y = x^2 + 2x$ を $x$軸に関して対称移動し、さらに $y$軸方向に $p$ だけ平行移動した放物線を $C_2$ とする。$C_1$ と $C_2$ が接するとき、定数 $p$ の値とそのときの接点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$C_1$ の方程式を求める。

$y = x^2 + 2x$ を $y$軸に関して対称移動すると $y = (-x)^2 + 2(-x) = x^2 - 2x$ となる。

さらに、$x$軸方向に $-4$、$y$軸方向に $4$ だけ平行移動すると、

$y - 4 = (x + 4)^2 - 2(x + 4)$ となる。

したがって、$C_1$ の方程式は、

$y = (x+4)^2 - 2(x+4) + 4 = x^2 + 8x + 16 - 2x - 8 + 4 = x^2 + 6x + 12$

次に、$C_2$ の方程式を求める。

$y = x^2 + 2x$ を $x$軸に関して対称移動すると、$-y = x^2 + 2x$ より $y = -x^2 - 2x$ となる。

さらに、$y$軸方向に $p$ だけ平行移動すると、$y - p = -x^2 - 2x$ となる。

したがって、$C_2$ の方程式は、

$y = -x^2 - 2x + p$

$C_1$ と $C_2$ が接するとき、$x^2 + 6x + 12 = -x^2 - 2x + p$ が重解を持つ。

$2x^2 + 8x + 12 - p = 0$

$x^2 + 4x + 6 - \frac{p}{2} = 0$

判別式 $D = 4^2 - 4(6 - \frac{p}{2}) = 16 - 24 + 2p = 2p - 8 = 0$

$2p = 8$

$p = 4$

$x^2 + 4x + 6 - 2 = 0$

$x^2 + 4x + 4 = 0$

$(x+2)^2 = 0$

$x = -2$

$y = (-2)^2 + 6(-2) + 12 = 4 - 12 + 12 = 4$

3. 最終的な答え

$p = 4$

接点の座標は $(-2, 4)$