$x, a, b$ を実数とするとき、以下のそれぞれについて、左側の条件が右側の条件であるための何条件かを答えます。選択肢は以下の通りです。 1. 必要条件であるが十分条件でない

1. 問題の内容

$x, a, b$ を実数とするとき、以下のそれぞれについて、左側の条件が右側の条件であるための何条件かを答えます。選択肢は以下の通りです。

1. 必要条件であるが十分条件でない

2. 十分条件であるが必要条件でない

3. 必要十分条件

4. 必要条件でも十分条件でもない

(1) $x^2 = 9$ は、$x = 3$ であるための何条件か。

(2) $a^2 = b^2$ は、$|a| = |b|$ であるための何条件か。

(3) $x^3 = x^2$ は、$x = 1$ であるための何条件か。

(4) $a > b$ は、$a^2 > b^2$ であるための何条件か。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 = 9$ ならば $x = \pm 3$ です。したがって、$x = 3$ は $x^2 = 9$ であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。なぜなら、$x = -3$ の場合も $x^2 = 9$ を満たすからです。

答え: 1

(2) $a^2 = b^2$ ならば $|a| = |b|$ です。逆に、$|a| = |b|$ ならば $a^2 = b^2$ です。したがって、$a^2 = b^2$ は $|a| = |b|$ であるための必要十分条件です。

答え: 3

(3) $x^3 = x^2$ という条件は、$x^3 - x^2 = 0$ と変形でき、$x^2(x - 1) = 0$ となります。したがって、$x = 0$ または $x = 1$ です。$x = 1$ ならば $x^3 = x^2$ が成り立ちますが、$x^3 = x^2$ であっても $x = 0$ の場合があるので、$x = 1$ であるとは限りません。したがって、$x^3 = x^2$ は $x = 1$ であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。

答え: 1

(4) $a > b$ ならば、$a^2 > b^2$ とは限りません。例えば、$a = 1, b = -2$ のとき、$a > b$ ですが、$a^2 = 1$ で $b^2 = 4$ なので、$a^2 < b^2$ となります。

逆に、$a^2 > b^2$ ならば $a > b$ とも限りません。例えば、$a = -1, b = 0$ のとき、$a^2 = 1, b^2 = 0$ なので、$a^2 > b^2$ ですが、$a < b$ となります。

したがって、$a > b$ は $a^2 > b^2$ であるための必要条件でも十分条件でもありません。

答え: 4

3. 最終的な答え

1. 1

2. 3

3. 1

4. 4