初項から第10項までの和が4、初項から第20項までの和が24である等比数列について、初項から第40項までの和を求める。ただし、公比は実数とする。

1. 問題の内容

初項から第10項までの和が4、初項から第20項までの和が24である等比数列について、初項から第40項までの和を求める。ただし、公比は実数とする。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を$a$, 公比を$r$とする。

初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると、$r \neq 1$のとき、

$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

と表せる。

問題文より、

$$S_{10} = \frac{a(1-r^{10})}{1-r} = 4$$

$$S_{20} = \frac{a(1-r^{20})}{1-r} = 24$$

$S_{20}$を以下のように変形する。

$$S_{20} = \frac{a(1-r^{10})(1+r^{10})}{1-r} = \frac{a(1-r^{10})}{1-r}(1+r^{10}) = S_{10}(1+r^{10})$$

よって、

$24 = 4(1+r^{10})$

$6 = 1+r^{10}$

$r^{10} = 5$

$S_{40} = \frac{a(1-r^{40})}{1-r} = \frac{a(1-r^{10})(1+r^{10}+r^{20}+r^{30})}{1-r} = S_{10}(1+r^{10}+r^{20}+r^{30})$

$S_{40} = 4(1+5+5^2+5^3) = 4(1+5+25+125) = 4(156) = 624$

3. 最終的な答え

624