多項式 $6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - x + 2$ を多項式 $B$ で割ったとき、商が $2x^2 + x - 3$、余りが $6x - 1$ である。このとき、$B$ を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - x + 2$ を多項式 $B$ で割ったとき、商が $2x^2 + x - 3$、余りが $6x - 1$ である。このとき、$B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

除法の関係式より、

$6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - x + 2 = B(2x^2 + x - 3) + (6x - 1)$

である。

この式を変形して、$B$ を求める。

まず、$6x - 1$ を左辺に移項すると、

$6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - x + 2 - (6x - 1) = B(2x^2 + x - 3)$

$6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - 7x + 3 = B(2x^2 + x - 3)$

したがって、

$B = \frac{6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - 7x + 3}{2x^2 + x - 3}$

となる。

多項式の割り算を行う。

$$

\begin{array}{c|ccccc}

\multicolumn{2}{r}{3x^2} & +2x & -1 \\

\cline{2-6}

2x^2+x-3 & 6x^4 & +7x^3 & -9x^2 & -7x & +3 \\

\multicolumn{2}{r}{6x^4} & +3x^3 & -9x^2 \\

\cline{2-4}

\multicolumn{2}{r}{0} & 4x^3 & 0 & -7x \\

\multicolumn{2}{r}{} & 4x^3 & +2x^2 & -6x \\

\cline{3-5}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & -2x^2 & -x & +3 \\

\multicolumn{2}{r}{} & & -2x^2 & -x & +3 \\

\cline{4-6}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 & 0 \\

\end{array}

$$

よって、

$B = 3x^2 + 2x - 1$

3. 最終的な答え

$B = 3x^2 + 2x - 1$