(1) $x + y + z = 10$ を満たす負でない整数 $x, y, z$ の組の数を求める。 (2) $x + y + z = 10$ を満たす正の整数 $x, y, z$ の組の数を求める。

1. 問題の内容

(1) $x + y + z = 10$ を満たす負でない整数 $x, y, z$ の組の数を求める。

(2) $x + y + z = 10$ を満たす正の整数 $x, y, z$ の組の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 負でない整数の場合、これは重複組み合わせの問題である。$n$ 個のものから $r$ 個を選ぶ重複組み合わせの数は $_{n}H_{r} = _{n+r-1}C_{r}$ で求められる。

この場合、$x, y, z$ は負でない整数で、$x + y + z = 10$ であるから、$n = 3$ (変数の数) で $r = 10$ (合計) である。したがって、組み合わせの数は $_{3}H_{10} = _{3+10-1}C_{10} = _{12}C_{10}$ となる。

$_{12}C_{10} = \frac{12!}{10!2!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66$

(2) 正の整数の場合、$x, y, z$ は正の整数で、$x + y + z = 10$ である。$x, y, z \ge 1$ であるから、$x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1$ とおくと、$x', y', z'$ は負でない整数となり、$x' + 1 + y' + 1 + z' + 1 = 10$ となる。

したがって、$x' + y' + z' = 10 - 3 = 7$ となる。この式を満たす負でない整数 $x', y', z'$ の組の数を求める。

これは、$n = 3$ で $r = 7$ の重複組み合わせの問題なので、組み合わせの数は $_{3}H_{7} = _{3+7-1}C_{7} = _{9}C_{7}$ となる。

$_{9}C_{7} = \frac{9!}{7!2!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 9 \times 4 = 36$

3. 最終的な答え

(1) 66個

(2) 36個