複素数平面上の3点 $A(3+2i), B(-4i), C(7+xi)$ が与えられています。 (1) 2直線 $AB, AC$ が垂直に交わるように、実数 $x$ の値を求めます。 (2) 3点 $A, B, C$ が一直線上にあるように、実数 $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点 $A(3+2i), B(-4i), C(7+xi)$ が与えられています。

(1) 2直線 $AB, AC$ が垂直に交わるように、実数 $x$ の値を求めます。

(2) 3点 $A, B, C$ が一直線上にあるように、実数 $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $AB$ と直線 $AC$ が垂直に交わる条件は、ベクトル $\vec{AB}$ とベクトル $\vec{AC}$ が垂直であることと同値です。複素数平面上では、これは $\frac{C-A}{B-A}$ が純虚数であることを意味します。

まず、$C-A$ と $B-A$ を計算します。

$C-A = (7+xi) - (3+2i) = 4 + (x-2)i$

$B-A = -4i - (3+2i) = -3 - 6i$

$\frac{C-A}{B-A} = \frac{4+(x-2)i}{-3-6i} = \frac{4+(x-2)i}{-3-6i} \cdot \frac{-3+6i}{-3+6i} = \frac{(4+(x-2)i)(-3+6i)}{(-3)^2+(-6)^2} = \frac{-12+24i-3(x-2)i+6(x-2)i^2}{9+36} = \frac{-12-6(x-2)+(24-3(x-2))i}{45} = \frac{-12-6x+12+(24-3x+6)i}{45} = \frac{-6x+(30-3x)i}{45} = \frac{-6x}{45} + \frac{30-3x}{45}i$

これが純虚数であるためには、実部が0である必要があります。

$\frac{-6x}{45} = 0$

$x = 0$

このとき、$\frac{C-A}{B-A} = \frac{30i}{45} = \frac{2}{3}i$ となり、純虚数であることが確認できます。

(2)

3点 $A, B, C$ が一直線上にある条件は、ベクトル $\vec{AB}$ とベクトル $\vec{AC}$ が平行であることと同値です。複素数平面上では、これは $\frac{C-A}{B-A}$ が実数であることを意味します。

$\frac{C-A}{B-A} = \frac{-6x}{45} + \frac{30-3x}{45}i$

これが実数であるためには、虚部が0である必要があります。

$\frac{30-3x}{45} = 0$

$30-3x = 0$

$3x = 30$

$x = 10$

このとき、$\frac{C-A}{B-A} = \frac{-6(10)}{45} = \frac{-60}{45} = -\frac{4}{3}$ となり、実数であることが確認できます。

3. 最終的な答え

(1) $x=0$

(2) $x=10$