## 練習問題 1

## 練習問題 1

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1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ と $\mathbf{y} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ を、ベクトル $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ と $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ の1次結合として表す。つまり、スカラー $c_1, c_2, d_1, d_2$ を見つけて、$\mathbf{x} = c_1 \mathbf{a} + c_2 \mathbf{b}$ および $\mathbf{y} = d_1 \mathbf{a} + d_2 \mathbf{b}$ が成り立つようにする。

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2. 解き方の手順

$\mathbf{x} = c_1 \mathbf{a} + c_2 \mathbf{b}$ を満たす $c_1, c_2$ を求める。

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\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}

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これは連立方程式に書き換えられる：

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\begin{cases}

c_1 + c_2 = 1 \\

c_1 + 2c_2 = 0

\end{cases}

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第2式から第1式を引くと $c_2 = -1$ が得られる。これを第1式に代入すると $c_1 = 2$ が得られる。したがって、$\mathbf{x} = 2\mathbf{a} - \mathbf{b}$ である。

$\mathbf{y} = d_1 \mathbf{a} + d_2 \mathbf{b}$ を満たす $d_1, d_2$ を求める。

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\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = d_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + d_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}

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これは連立方程式に書き換えられる：

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\begin{cases}

d_1 + d_2 = 0 \\

d_1 + 2d_2 = 1

\end{cases}

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第2式から第1式を引くと $d_2 = 1$ が得られる。これを第1式に代入すると $d_1 = -1$ が得られる。したがって、$\mathbf{y} = -\mathbf{a} + \mathbf{b}$ である。

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3. 最終的な答え

$\mathbf{x} = 2\mathbf{a} - \mathbf{b}$

$\mathbf{y} = -\mathbf{a} + \mathbf{b}$