与えられた連立不等式 $2(x-2) > x + a$ ...(1) $|x-1| < 3$ ...(2) について、以下の問いに答える。 (ア) 不等式(1)の解を $a$ を用いて表す。 (イ) 不等式(2)の解を求める。 (ウ) 不等式(1)と(2)を同時に満たす $x$ の値が存在しないような $a$ の値の範囲を求める。 最後に、$a$ が(ウ)の値より小さいときに、連立不等式の解を $a$ の値によって場合分けして求める。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式

$2(x-2) > x + a$ ...(1)

$|x-1| < 3$ ...(2)

について、以下の問いに答える。

(ア) 不等式(1)の解を $a$ を用いて表す。

(イ) 不等式(2)の解を求める。

(ウ) 不等式(1)と(2)を同時に満たす $x$ の値が存在しないような $a$ の値の範囲を求める。

最後に、$a$ が(ウ)の値より小さいときに、連立不等式の解を $a$ の値によって場合分けして求める。

2. 解き方の手順

(ア) 不等式(1)を解く。

$2(x-2) > x + a$

$2x - 4 > x + a$

$2x - x > a + 4$

$x > a + 4$

したがって、不等式(1)の解は $x > a+4$ となる。

(イ) 不等式(2)を解く。

$|x-1| < 3$

$-3 < x-1 < 3$

$-3+1 < x < 3+1$

$-2 < x < 4$

したがって、不等式(2)の解は $-2 < x < 4$ となる。

(ウ) 不等式(1)と(2)を同時に満たす $x$ の値が存在しないような $a$ の範囲を求める。

(1)の解は $x > a+4$、(2)の解は $-2 < x < 4$ である。

(1)と(2)を同時に満たす $x$ が存在しないのは、$a+4 \geq 4$ のとき、つまり $a \geq 0$ のときである。

また、(1)の解は $x > a+4$、(2)の解は $-2 < x < 4$ なので、$a+4 \geq 4$ となるのは、$a+4$ が $4$ と一致するか、または $4$ よりも大きい場合である。

$a+4 \geq 4$

$a \geq 0$

$-2 < x < 4$ の範囲に、$x > a+4$ の解が存在しないのは、$a+4 \geq 4$、すなわち $a \geq 0$ のときである。

(3) $a < 0$ のとき、連立不等式の解を求める。

$a < 0$ のとき、連立不等式の解は、$a+4 < x < 4$ となる。

$a+4$ と $-2$ の大小関係を考える。

i) $a+4 \geq -2$ のとき

$a \geq -6$

このとき、 $-6 \leq a < 0$ であり、連立不等式の解は $a+4 < x < 4$ となる。

ii) $a+4 < -2$ のとき

$a < -6$

このとき、連立不等式の解は存在しない。

3. 最終的な答え

(ア): $x > a+4$

(イ): $-2 < x < 4$

(ウ): $0$

$a < 0$ のとき、

$-6 \leq a < 0$ ならば、$a+4 < x < 4$

$a < -6$ ならば、解なし