$\sqrt[3]{81}$ と $\sqrt[4]{243}$ の大小を比較する問題です。$\sqrt[3]{81}=3^a$、$\sqrt[4]{243}=3^b$ としたとき、$a$ と $b$ の値を求め、$y=3^x$ のグラフが単調増加であることから $\sqrt[3]{81}$ と $\sqrt[4]{243}$ の大小を比較します。

1. 問題の内容

$\sqrt[3]{81}$ と $\sqrt[4]{243}$ の大小を比較する問題です。$\sqrt[3]{81}=3^a$、$\sqrt[4]{243}=3^b$ としたとき、$a$ と $b$ の値を求め、$y=3^x$ のグラフが単調増加であることから $\sqrt[3]{81}$ と $\sqrt[4]{243}$ の大小を比較します。

2. 解き方の手順

まず、$a$ の値を求めます。$\sqrt[3]{81} = 3^a$ です。

$81 = 3^4$ なので、$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = (3^4)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{3}}$。

したがって、$a = \frac{4}{3}$ です。

次に、$b$ の値を求めます。$\sqrt[4]{243} = 3^b$ です。問題文では、$b = \frac{5}{4}$と与えられています。

したがって、$b = \frac{5}{4}$ です。

$\frac{4}{3}$ と $\frac{5}{4}$ の大小を比較します。

$\frac{4}{3} = \frac{16}{12}$、$\frac{5}{4} = \frac{15}{12}$。

したがって、$\frac{4}{3} > \frac{5}{4}$ なので、$a > b$。

$y=3^x$ のグラフは単調増加関数なので、$a > b$ ならば $3^a > 3^b$ が成り立ちます。

したがって、$\sqrt[3]{81} > \sqrt[4]{243}$。

3. 最終的な答え

$a = \frac{4}{3}$

$b = \frac{5}{4}$

$a > b$

$\sqrt[3]{81} > \sqrt[4]{243}$