$a, 2, b$ がこの順に等比数列をなし、$\frac{1}{b}, \frac{1}{2}, \frac{1}{a}$ がこの順に等差数列をなすとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a, 2, b$ がこの順に等比数列をなし、$\frac{1}{b}, \frac{1}{2}, \frac{1}{a}$ がこの順に等差数列をなすとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a, 2, b$ が等比数列であることから、

$2^2 = ab$

$ab = 4$ ...(1)

次に、$\frac{1}{b}, \frac{1}{2}, \frac{1}{a}$ が等差数列であることから、

$\frac{1}{2} = \frac{\frac{1}{b} + \frac{1}{a}}{2}$

$\frac{1}{2} = \frac{a+b}{2ab}$

$1 = \frac{a+b}{ab}$

$ab = a+b$ ...(2)

(1)を(2)に代入すると、

$4 = a+b$

$b = 4-a$

これを(1)に代入すると、

$a(4-a) = 4$

$4a - a^2 = 4$

$a^2 - 4a + 4 = 0$

$(a-2)^2 = 0$

$a = 2$

よって、$b = 4-a = 4-2 = 2$

3. 最終的な答え

$a=2, b=2$