3次方程式 $x^3 - 3x^2 + ax + b = 0$ が $1+3i$ を解に持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値を求め、他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 + ax + b = 0$ が $1+3i$ を解に持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値を求め、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 複素数解の性質：

係数が実数の多項式方程式が複素数 $1+3i$ を解に持つとき、共役複素数 $1-3i$ も解に持つ。

(2) 解と係数の関係：

3次方程式の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、解と係数の関係から

$x^3 - 3x^2 + ax + b = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ となる。

この問題では、$\alpha = 1+3i$, $\beta = 1-3i$ なので、残りの解を $\gamma$ とおく。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta + \gamma = 3$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = a$

$\alpha\beta\gamma = -b$

(3) $\gamma$ の計算：

$\alpha + \beta + \gamma = (1+3i) + (1-3i) + \gamma = 2 + \gamma = 3$

よって、$\gamma = 1$

(4) $a$ の計算：

$\alpha\beta = (1+3i)(1-3i) = 1 - (3i)^2 = 1 + 9 = 10$

$\beta\gamma = (1-3i)(1) = 1-3i$

$\gamma\alpha = (1)(1+3i) = 1+3i$

$a = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 10 + (1-3i) + (1+3i) = 10 + 1 - 3i + 1 + 3i = 12$

(5) $b$ の計算：

$-b = \alpha\beta\gamma = (10)(1) = 10$

よって、$b = -10$

(6) 他の解：

他の解は $1-3i$ と $1$ である。

3. 最終的な答え

$a = 12$, $b = -10$, 他の解は $1-3i$ と $1$