次の等式を証明します。 (1) $(2a+b)^2+(a-2b)^2=5(a^2+b^2)$ (2) $a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$

1. 問題の内容

次の等式を証明します。

(1) $(2a+b)^2+(a-2b)^2=5(a^2+b^2)$

(2) $a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$

2. 解き方の手順

(1) 左辺を展開し、整理して右辺になることを示します。

$(2a+b)^2+(a-2b)^2 = (4a^2 + 4ab + b^2) + (a^2 - 4ab + 4b^2) = 5a^2 + 5b^2 = 5(a^2+b^2)$

したがって、与式は成立します。

(2) 右辺を展開し、整理して左辺になることを示します。

$(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3) = a(a^3+a^2b+ab^2+b^3) - b(a^3+a^2b+ab^2+b^3) = a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3 - a^3b - a^2b^2 - ab^3 - b^4 = a^4 - b^4$

したがって、与式は成立します。

3. 最終的な答え

(1) $(2a+b)^2+(a-2b)^2=5(a^2+b^2)$ は証明されました。

(2) $a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$ は証明されました。