与えられた4つの数式をそれぞれ計算せよ。 (1) $\frac{x^2-4x}{3x+1} \times \frac{3x+1}{x^2}$ (2) $\frac{x^2+x-2}{x^2+4x+4} \times \frac{x+1}{x^2-1}$ (3) $\frac{2}{x^2-9} \div \frac{x-1}{x^2-8x+15}$ (4) $\frac{x^2+x-12}{x^2-4x-5} \div \frac{x^2-4x+3}{x^2-1}$

1. 問題の内容

与えられた4つの数式をそれぞれ計算せよ。

(1) $\frac{x^2-4x}{3x+1} \times \frac{3x+1}{x^2}$

(2) $\frac{x^2+x-2}{x^2+4x+4} \times \frac{x+1}{x^2-1}$

(3) $\frac{2}{x^2-9} \div \frac{x-1}{x^2-8x+15}$

(4) $\frac{x^2+x-12}{x^2-4x-5} \div \frac{x^2-4x+3}{x^2-1}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x^2-4x}{3x+1} \times \frac{3x+1}{x^2}$

まず、分子と分母で共通の因子を約分する。

$x^2-4x = x(x-4)$

したがって、

$\frac{x(x-4)}{3x+1} \times \frac{3x+1}{x^2} = \frac{x(x-4)(3x+1)}{(3x+1)x^2} = \frac{x-4}{x}$

(2) $\frac{x^2+x-2}{x^2+4x+4} \times \frac{x+1}{x^2-1}$

それぞれの多項式を因数分解する。

$x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$

$x^2+4x+4 = (x+2)^2$

$x^2-1 = (x+1)(x-1)$

したがって、

$\frac{(x+2)(x-1)}{(x+2)^2} \times \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{(x+2)(x-1)(x+1)}{(x+2)^2(x+1)(x-1)} = \frac{1}{x+2}$

(3) $\frac{2}{x^2-9} \div \frac{x-1}{x^2-8x+15}$

割り算を掛け算に変換し、2つ目の分数を逆数にする。

$\frac{2}{x^2-9} \times \frac{x^2-8x+15}{x-1}$

それぞれの多項式を因数分解する。

$x^2-9 = (x+3)(x-3)$

$x^2-8x+15 = (x-3)(x-5)$

したがって、

$\frac{2}{(x+3)(x-3)} \times \frac{(x-3)(x-5)}{x-1} = \frac{2(x-3)(x-5)}{(x+3)(x-3)(x-1)} = \frac{2(x-5)}{(x+3)(x-1)}$

(4) $\frac{x^2+x-12}{x^2-4x-5} \div \frac{x^2-4x+3}{x^2-1}$

割り算を掛け算に変換し、2つ目の分数を逆数にする。

$\frac{x^2+x-12}{x^2-4x-5} \times \frac{x^2-1}{x^2-4x+3}$

それぞれの多項式を因数分解する。

$x^2+x-12 = (x+4)(x-3)$

$x^2-4x-5 = (x-5)(x+1)$

$x^2-1 = (x+1)(x-1)$

$x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$

したがって、

$\frac{(x+4)(x-3)}{(x-5)(x+1)} \times \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{(x+4)(x-3)(x+1)(x-1)}{(x-5)(x+1)(x-1)(x-3)} = \frac{x+4}{x-5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x-4}{x}$

(2) $\frac{1}{x+2}$

(3) $\frac{2(x-5)}{(x+3)(x-1)}$

(4) $\frac{x+4}{x-5}$