以下の2つの連立方程式が同じ解を持つとき、$a$と$b$の値を求めます。 $\begin{cases} -x + 2y = 8 \\ ax - by = -9 \end{cases}$ $\begin{cases} -2x + y = 7 \\ -bx + ay = 11 \end{cases}$

1. 問題の内容

以下の2つの連立方程式が同じ解を持つとき、$a$と$b$の値を求めます。

$\begin{cases}

-x + 2y = 8 \\

ax - by = -9

\end{cases}$

$\begin{cases}

-2x + y = 7 \\

-bx + ay = 11

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、共通の解を求めるために、2つの連立方程式から$x$と$y$の値を求めます。

$\begin{cases}

-x + 2y = 8 \\

-2x + y = 7

\end{cases}$

1番目の式を2倍すると、$-2x + 4y = 16$ となります。

2番目の式 $-2x + y = 7$ を引くと、$3y = 9$ となり、$y = 3$ が得られます。

$y = 3$ を $-x + 2y = 8$ に代入すると、$-x + 2(3) = 8$ となり、$-x + 6 = 8$ から $x = -2$ が得られます。

したがって、共通の解は $x = -2$、 $y = 3$ です。

次に、$x = -2$、$y = 3$ を残りの2つの式に代入します。

$ax - by = -9$ に代入すると、$-2a - 3b = -9$ となります。

$-bx + ay = 11$ に代入すると、$2b + 3a = 11$ となります。

これにより、以下の連立方程式が得られます。

$\begin{cases}

-2a - 3b = -9 \\

3a + 2b = 11

\end{cases}$

1番目の式を3倍すると、$-6a - 9b = -27$ となります。

2番目の式を2倍すると、$6a + 4b = 22$ となります。

2つの式を足し合わせると、$-5b = -5$ となり、$b = 1$ が得られます。

$b = 1$ を $3a + 2b = 11$ に代入すると、$3a + 2(1) = 11$ となり、$3a = 9$ から $a = 3$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 1$