与えられた式 $(a+b)c^2 + (b+c)a^2 + (c+a)b^2 + 2abc$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)c^2 + (b+c)a^2 + (c+a)b^2 + 2abc$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) 式を $a$ について降べきの順に整理する。

$(a+b)c^2 + (b+c)a^2 + (c+a)b^2 + 2abc = (b+c)a^2 + a(b^2+2bc+c^2) + b^2c + bc^2$

(2) $a$ の係数と定数項をまとめる。

$(b+c)a^2 + (b^2+2bc+c^2)a + b^2c + bc^2 = (b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c)$

(3) $b+c$ で括り出す。

$(b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c) = (b+c)(a^2 + (b+c)a + bc)$

(4) 括弧の中身を因数分解する。

$(b+c)(a^2 + (b+c)a + bc) = (b+c)(a+b)(a+c)$

(5) 並び替える。

$(b+c)(a+b)(a+c) = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$