$x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{1}{x}$ を求める。

まず、$\frac{1}{x}$ を計算する。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

分母の有理化を行う。

$\frac{2}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

したがって、

$x + \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ であるから、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

(1)で求めた $x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ を用いる。

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (\sqrt{6})^2 - 2 = 6 - 2 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$