14. $a > 0$, $b > 0$ のとき、不等式 $ab + \frac{1}{ab} \ge 2$ を証明し、等号が成り立つ条件を求めます。 15. $a > 0$ のとき、$a - 2 + \frac{2}{a+1}$ の最小値を求めます。

1. 問題の内容

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4. $a > 0$, $b > 0$ のとき、不等式 $ab + \frac{1}{ab} \ge 2$ を証明し、等号が成り立つ条件を求めます。

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5. $a > 0$ のとき、$a - 2 + \frac{2}{a+1}$ の最小値を求めます。

2. 解き方の手順

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4. まず、$x = ab$ とおくと、$a > 0$, $b > 0$ より $x > 0$ となります。

示すべき不等式は $x + \frac{1}{x} \ge 2$ となります。

相加相乗平均の不等式より、$x > 0$ のとき、

$x + \frac{1}{x} \ge 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2 \sqrt{1} = 2$

が成り立ちます。

したがって、$ab + \frac{1}{ab} \ge 2$ が証明されました。

等号が成り立つのは、$x = \frac{1}{x}$ のとき、つまり $x^2 = 1$ のときです。

$x > 0$ より、$x = 1$ のときです。

$x = ab$ より、$ab = 1$ のとき等号が成り立ちます。

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5. $a - 2 + \frac{2}{a+1}$ の最小値を求めます。

$a+1 = t$ とおくと、$a = t-1$ であり、$a > 0$ より $t > 1$ となります。

$a - 2 + \frac{2}{a+1} = (t-1) - 2 + \frac{2}{t} = t - 3 + \frac{2}{t} = t + \frac{2}{t} - 3$

ここで、$t > 0$ より、相加相乗平均の不等式を用いると、

$t + \frac{2}{t} \ge 2 \sqrt{t \cdot \frac{2}{t}} = 2 \sqrt{2}$

したがって、$t + \frac{2}{t} - 3 \ge 2 \sqrt{2} - 3$

等号成立条件は、$t = \frac{2}{t}$ のとき、つまり $t^2 = 2$ のときです。

$t > 0$ より、$t = \sqrt{2}$ です。

$t = a+1$ より、$a+1 = \sqrt{2}$ なので、$a = \sqrt{2} - 1$ です。

$a = \sqrt{2} - 1 > 0$ なので、条件を満たします。

したがって、$a - 2 + \frac{2}{a+1}$ の最小値は $2 \sqrt{2} - 3$ です。

3. 最終的な答え

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4. $ab + \frac{1}{ab} \ge 2$ は証明された。

等号が成り立つのは、$ab = 1$ のとき。

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5. $a - 2 + \frac{2}{a+1}$ の最小値は $2 \sqrt{2} - 3$ 。