与えられた数式 $x^4 - 9x^2 + 16$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた数式 $x^4 - 9x^2 + 16$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を平方完成に近い形に変形します。

$x^4 - 9x^2 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16 - 17x^2 = (x^2 + 4)^2 - 17x^2$

しかし、このままでは因数分解できません。そこで、

$x^4 - 9x^2 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16 - 17x^2$

とはせずに、

$x^4 - 9x^2 + 16 = x^4 + 2 \cdot 4x^2 + 16 - 2 \cdot 4x^2 - 9x^2 = (x^2 + 4)^2 - 17x^2$

と考えるのではなく、以下の様に平方完成の項を調整することを試みます。

$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^2+4)^2 - 8x^2-9x^2=(x^2+4)^2 - 17x^2$

ではなく、

$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^2+ax+4)(x^2+bx+4)$

とおいて展開して比較する方法で考えます。

$x^4 + (a+b)x^3+(8+ab)x^2 + 4(a+b)x + 16$

$a+b=0$なので $b=-a$です。

$8-a^2=-9$なので $a^2=17$となり、整数解を持ちません。

次に、

$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^2+ax-4)(x^2+bx-4)$

とおいて展開して比較する方法で考えます。

$x^4 + (a+b)x^3+(-8+ab)x^2 - 4(a+b)x + 16$

$a+b=0$なので $b=-a$です。

$-8-a^2=-9$なので $a^2=1$となります。

$a=1$なので$b=-1$です。

したがって、

$x^4 - 9x^2 + 16 = (x^2+x-4)(x^2-x-4)$

3. 最終的な答え

$(x^2+x-4)(x^2-x-4)$