関数 $y = f(x) = -x^2 + (2a+1)x + 5$ の $-2 \le x \le 3$ における最大値と最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = -x^2 + (2a+1)x + 5$ の $-2 \le x \le 3$ における最大値と最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = -x^2 + (2a+1)x + 5 = -(x^2 - (2a+1)x) + 5 = -\left(x - \frac{2a+1}{2}\right)^2 + \left(\frac{2a+1}{2}\right)^2 + 5 = -\left(x - \frac{2a+1}{2}\right)^2 + \frac{4a^2 + 4a + 1}{4} + 5 = -\left(x - \frac{2a+1}{2}\right)^2 + a^2 + a + \frac{21}{4}$

したがって、頂点の座標は $\left(\frac{2a+1}{2}, a^2+a+\frac{21}{4}\right)$ である。

$x = \frac{2a+1}{2}$ の位置によって場合分けを行う。定義域 $-2 \le x \le 3$ であることに注意する。

場合分け:

(1) $\frac{2a+1}{2} < -2$ すなわち $2a+1 < -4$ より $a < -\frac{5}{2}$ のとき

　　このとき、$f(x)$ は減少関数なので、最大値は $f(-2)$、最小値は $f(3)$ である。

$f(-2) = -(-2)^2 + (2a+1)(-2) + 5 = -4 -4a -2 + 5 = -4a - 1$

$f(3) = -3^2 + (2a+1)3 + 5 = -9 + 6a + 3 + 5 = 6a - 1$

(2) $-2 \le \frac{2a+1}{2} \le 3$ すなわち $-4 \le 2a+1 \le 6$ より $-\frac{5}{2} \le a \le \frac{5}{2}$ のとき

　　このとき、最大値は頂点の $y$ 座標 $a^2 + a + \frac{21}{4}$ となる。

　　最小値は、$f(-2)$ と $f(3)$ を比較して、どちらが小さいか考える。

$f(-2) - f(3) = (-4a - 1) - (6a - 1) = -10a$

$f(-2) < f(3)$ となるのは $-10a < 0$ すなわち $a > 0$ のとき。

$f(-2) > f(3)$ となるのは $-10a > 0$ すなわち $a < 0$ のとき。

$a = 0$ のとき $f(-2) = f(3) = -1$

したがって、

(2-i) $-\frac{5}{2} \le a < 0$ のとき、最小値は $f(-2) = -4a - 1$。

(2-ii) $0 < a \le \frac{5}{2}$ のとき、最小値は $f(3) = 6a - 1$。

(2-iii) $a = 0$ のとき、最小値は $-1$。これは $f(-2) = f(3) = -1$ に一致する。

(3) $\frac{2a+1}{2} > 3$ すなわち $2a+1 > 6$ より $a > \frac{5}{2}$ のとき

　　このとき、$f(x)$ は増加関数なので、最大値は $f(3)$、最小値は $f(-2)$ である。

$f(-2) = -4a - 1$

$f(3) = 6a - 1$

まとめると、

$a < -\frac{5}{2}$ のとき、最大値は $-4a - 1$、最小値は $6a - 1$。

$-\frac{5}{2} \le a < 0$ のとき、最大値は $a^2 + a + \frac{21}{4}$、最小値は $-4a - 1$。

$0 < a \le \frac{5}{2}$ のとき、最大値は $a^2 + a + \frac{21}{4}$、最小値は $6a - 1$。

$a = 0$ のとき、最大値は $\frac{21}{4}$、最小値は $-1$。

$a > \frac{5}{2}$ のとき、最大値は $6a - 1$、最小値は $-4a - 1$。

3. 最終的な答え

| a の範囲 | 最大値 | 最小值 |

|-------------------|-------------------|-------------------|

| $a < -5/2$ | $-4a - 1$ | $6a - 1$ |

| $-5/2 \le a < 0$ | $a^2 + a + 21/4$ | $-4a - 1$ |

| $a = 0$ | $21/4$ | $-1$ |

| $0 < a \le 5/2$ | $a^2 + a + 21/4$ | $6a - 1$ |

| $a > 5/2$ | $6a - 1$ | $-4a - 1$ |