実数 $a$ に対して、2つの集合 $A = \{a-1, 4, a^2 - 5a + 6\}$ と $B = \{1, a^2 - 4, a^2 - 7a + 12, 4\}$ が与えられている。$A \cap B = \{0, 4\}$ であるとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、2つの集合 $A = \{a-1, 4, a^2 - 5a + 6\}$ と $B = \{1, a^2 - 4, a^2 - 7a + 12, 4\}$ が与えられている。$A \cap B = \{0, 4\}$ であるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$A \cap B = \{0, 4\}$ であるから、以下のことが言える。

- 4 は $A$ と $B$ の両方に含まれている。

- 0 は $A$ と $B$ の両方に含まれている。

- $A$ と $B$ には 0 と 4 以外の共通の要素はない。

集合 $A$ に注目すると、$a-1$, $4$, $a^2-5a+6$ のいずれかが 0 である必要がある。

集合 $B$ に注目すると、$1$, $a^2-4$, $a^2-7a+12$, $4$ のいずれかが 0 である必要がある。

まず、$A$ の要素のいずれかが 0 である場合を考える。

(1) $a-1 = 0$ のとき、$a = 1$。

このとき、$A = \{0, 4, 1^2 - 5(1) + 6\} = \{0, 4, 2\}$、$B = \{1, 1^2 - 4, 1^2 - 7(1) + 12, 4\} = \{1, -3, 6, 4\}$。

$A \cap B = \{4\}$ となり、$A \cap B = \{0, 4\}$ を満たさない。

(2) $a^2 - 5a + 6 = 0$ のとき、$(a-2)(a-3) = 0$ より、$a = 2$ または $a = 3$。

$a = 2$ のとき、$A = \{2-1, 4, 0\} = \{1, 4, 0\}$、$B = \{1, 2^2 - 4, 2^2 - 7(2) + 12, 4\} = \{1, 0, 2, 4\}$。

$A \cap B = \{0, 1, 4\}$ となり、$A \cap B = \{0, 4\}$ を満たさない。

$a = 3$ のとき、$A = \{3-1, 4, 0\} = \{2, 4, 0\}$、$B = \{1, 3^2 - 4, 3^2 - 7(3) + 12, 4\} = \{1, 5, 0, 4\}$。

$A \cap B = \{0, 4\}$ となり、$A \cap B = \{0, 4\}$ を満たす。

次に、$B$ の要素のいずれかが 0 である場合を考える。

(1) $a^2 - 4 = 0$ のとき、$a = \pm 2$。

$a=2$ の場合は上記で確認済み。

$a = -2$ のとき、$A = \{-2-1, 4, (-2)^2 - 5(-2) + 6\} = \{-3, 4, 20\}$、$B = \{1, 0, (-2)^2 - 7(-2) + 12, 4\} = \{1, 0, 30, 4\}$。

$A \cap B = \{4\}$ となり、$A \cap B = \{0, 4\}$ を満たさない。

(2) $a^2 - 7a + 12 = 0$ のとき、$(a-3)(a-4) = 0$ より、$a = 3$ または $a = 4$。

$a=3$ の場合は上記で確認済み。

$a = 4$ のとき、$A = \{4-1, 4, 4^2 - 5(4) + 6\} = \{3, 4, 2\}$、$B = \{1, 4^2 - 4, 0, 4\} = \{1, 12, 0, 4\}$。

$A \cap B = \{4\}$ となり、$A \cap B = \{0, 4\}$ を満たさない。

したがって、$a = 3$ のとき、$A \cap B = \{0, 4\}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a = 3$