与えられた式 $x^2+xy+x+3y-6$ を因数分解し、$(x+ク)(x+y-ケ)$ の形で表したときのクとケに入る数を求める。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2+xy+x+3y-6$ を因数分解し、$(x+ク)(x+y-ケ)$ の形で表したときのクとケに入る数を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形していく。

$x^2+xy+x+3y-6 = x(x+y+1) + 3(y-2)$

このままでは因数分解できないので、別の方法を試みる。

$x^2 + xy + x + 3y - 6 = x^2 + (y+1)x + (3y-6)$

これを $x$ についての二次式と見て、因数分解できると仮定すると、

$(x+a)(x+y-b) = x^2 + (y-b+a)x - ab + ay$

となる。与えられた式と比較すると、

$y-b+a = y+1$

$-ab + ay = 3y - 6$

という連立方程式が得られる。

最初の式から $a-b=1$ すなわち $a=b+1$ が得られる。

次の式を $y$ で整理すると、

$ay - ab = 3y - 6$

$(a-3)y = ab-6$

これが任意の $y$ に対して成り立つためには、$a-3=0$ かつ $ab-6=0$ でなければならない。

$a=3$ より $b=a-1 = 3-1 = 2$ となる。

$ab-6 = 3 \times 2 - 6 = 0$ となり、条件を満たす。

よって、

$x^2+xy+x+3y-6 = (x+3)(x+y-2)$

したがって、クは3、ケは2となる。

3. 最終的な答え

ク = 3

ケ = 2