関数 $y = f(x) = -2x^2 + (2a + 5)x - a$ の区間 $-4 \le x \le 1$ における最大値と最小値を、$a$ の値によって場合分けして求めます。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = -2x^2 + (2a + 5)x - a$ の区間 $-4 \le x \le 1$ における最大値と最小値を、$a$ の値によって場合分けして求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成して、頂点の座標を求めます。

$y = -2x^2 + (2a + 5)x - a$

$y = -2\left(x^2 - \frac{2a+5}{2}x\right) - a$

$y = -2\left(x - \frac{2a+5}{4}\right)^2 + 2\left(\frac{2a+5}{4}\right)^2 - a$

$y = -2\left(x - \frac{2a+5}{4}\right)^2 + \frac{(2a+5)^2}{8} - a$

$y = -2\left(x - \frac{2a+5}{4}\right)^2 + \frac{4a^2 + 20a + 25}{8} - \frac{8a}{8}$

$y = -2\left(x - \frac{2a+5}{4}\right)^2 + \frac{4a^2 + 12a + 25}{8}$

したがって、頂点の座標は $\left(\frac{2a+5}{4}, \frac{4a^2 + 12a + 25}{8}\right)$ となります。

次に、軸 $x = \frac{2a+5}{4}$ の位置によって場合分けを行います。区間 $-4 \le x \le 1$ について、軸がこの区間のどこにあるかを考慮します。

(i) $\frac{2a+5}{4} < -4$ のとき

$2a+5 < -16$

$2a < -21$

$a < -\frac{21}{2}$

このとき、区間 $-4 \le x \le 1$ で関数は単調増加なので、最大値は $f(1)$、最小値は $f(-4)$ となります。

$f(1) = -2(1)^2 + (2a+5)(1) - a = -2 + 2a + 5 - a = a + 3$

$f(-4) = -2(-4)^2 + (2a+5)(-4) - a = -32 -8a - 20 - a = -9a - 52$

したがって、最大値は $a+3$、最小値は $-9a - 52$ です。

(ii) $-4 \le \frac{2a+5}{4} \le 1$ のとき

$-16 \le 2a+5 \le 4$

$-21 \le 2a \le -1$

$-\frac{21}{2} \le a \le -\frac{1}{2}$

このとき、頂点が区間 $-4 \le x \le 1$ に含まれるので、頂点で最大値をとります。

$f\left(\frac{2a+5}{4}\right) = \frac{4a^2 + 12a + 25}{8}$

最小値は、$f(-4)$ と $f(1)$ のうち小さい方です。$f(1) - f(-4) = a+3 - (-9a-52) = 10a + 55$.

$10a+55=0$ となる $a$ は $a = -5.5 = -11/2$.

$10a+55 > 0$ すなわち $a > -11/2$ のとき $f(1) > f(-4)$ なので最小値は $f(-4) = -9a-52$

$10a+55 < 0$ すなわち $a < -11/2$ のとき $f(1) < f(-4)$ なので最小値は $f(1) = a+3$

(iii) $\frac{2a+5}{4} > 1$ のとき

$2a+5 > 4$

$2a > -1$

$a > -\frac{1}{2}$

このとき、区間 $-4 \le x \le 1$ で関数は単調減少なので、最大値は $f(-4)$、最小値は $f(1)$ となります。

$f(-4) = -9a - 52$

$f(1) = a + 3$

したがって、最大値は $-9a - 52$、最小値は $a+3$ です。

表にまとめると以下のようになります。

| a の範囲 | 最大値 | 最小値 |

|---|---|---|

| $a < -\frac{21}{2}$ | $a+3$ | $-9a-52$ |

| $-\frac{21}{2} \le a < -\frac{11}{2}$ | $\frac{4a^2 + 12a + 25}{8}$ | $a+3$ |

| $-\frac{11}{2} \le a \le -\frac{1}{2}$ | $\frac{4a^2 + 12a + 25}{8}$ | $-9a-52$ |

| $a > -\frac{1}{2}$ | $-9a-52$ | $a+3$ |

3. 最終的な答え

| a の範囲 | 最大値 | 最小値 |

|---|---|---|

| $a < -\frac{21}{2}$ | $a+3$ | $-9a-52$ |

| $-\frac{21}{2} \le a < -\frac{11}{2}$ | $\frac{4a^2 + 12a + 25}{8}$ | $a+3$ |

| $-\frac{11}{2} \le a \le -\frac{1}{2}$ | $\frac{4a^2 + 12a + 25}{8}$ | $-9a-52$ |

| $a > -\frac{1}{2}$ | $-9a-52$ | $a+3$ |