与えられた6つの式を展開する問題です。 (1) $(a+3)^3$ (2) $(x-5)^3$ (3) $(4x-y)^3$ (4) $(5a+2b)^3$ (5) $(x+3)(x^2-3x+9)$ (6) $(2a-b)(4a^2+2ab+b^2)$

1. 問題の内容

与えられた6つの式を展開する問題です。

(1) $(a+3)^3$

(2) $(x-5)^3$

(3) $(4x-y)^3$

(4) $(5a+2b)^3$

(5) $(x+3)(x^2-3x+9)$

(6) $(2a-b)(4a^2+2ab+b^2)$

2. 解き方の手順

(1) $(a+3)^3$ の展開：

二項定理または $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を用います。

$a^3 + 3a^2(3) + 3a(3^2) + 3^3$

$a^3 + 9a^2 + 27a + 27$

(2) $(x-5)^3$ の展開：

二項定理または $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を用います。

$x^3 - 3x^2(5) + 3x(5^2) - 5^3$

$x^3 - 15x^2 + 75x - 125$

(3) $(4x-y)^3$ の展開：

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を用います。

$(4x)^3 - 3(4x)^2y + 3(4x)y^2 - y^3$

$64x^3 - 48x^2y + 12xy^2 - y^3$

(4) $(5a+2b)^3$ の展開：

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を用います。

$(5a)^3 + 3(5a)^2(2b) + 3(5a)(2b)^2 + (2b)^3$

$125a^3 + 150a^2b + 60ab^2 + 8b^3$

(5) $(x+3)(x^2-3x+9)$ の展開：

これは $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ の公式の逆です。

$x^3 + 3^3 = x^3 + 27$

(6) $(2a-b)(4a^2+2ab+b^2)$ の展開：

これは $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ の公式の逆で、$a=2a, b=b$ の場合です。

$(2a)^3 - b^3 = 8a^3 - b^3$

3. 最終的な答え

(1) $a^3 + 9a^2 + 27a + 27$

(2) $x^3 - 15x^2 + 75x - 125$

(3) $64x^3 - 48x^2y + 12xy^2 - y^3$

(4) $125a^3 + 150a^2b + 60ab^2 + 8b^3$

(5) $x^3 + 27$

(6) $8a^3 - b^3$