問題16は、与えられた等比数列の和$S$を求める問題です。 (1) 初項20, 公比-2, 項数10の場合 (2) 1, 4, 16, ..., 1024の場合

1. 問題の内容

問題16は、与えられた等比数列の和$S$を求める問題です。

(1) 初項20, 公比-2, 項数10の場合

(2) 1, 4, 16, ..., 1024の場合

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の和の公式を用います。初項を$a$, 公比を$r$, 項数を$n$とすると、等比数列の和$S_n$は次の式で表されます。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

この問題では、$a=20$, $r=-2$, $n=10$なので、公式に代入します。

$S_{10} = \frac{20(1-(-2)^{10})}{1-(-2)} = \frac{20(1-1024)}{3} = \frac{20(-1023)}{3} = 20 \times (-341) = -6820$

(2) まず、数列1, 4, 16, ..., 1024が等比数列であることを確認します。公比は$r = \frac{4}{1} = \frac{16}{4} = 4$なので、等比数列です。

次に、1024が第何項かを求めます。初項を$a_1$, 第$n$項を$a_n$とすると、$a_n = a_1 r^{n-1}$です。この問題では、$a_1 = 1$, $r=4$なので、$1024 = 1 \times 4^{n-1}$となります。

$1024 = 4^5$なので、$4^5 = 4^{n-1}$。したがって、$n-1 = 5$となり、$n = 6$です。

したがって、この等比数列は、初項1, 公比4, 項数6の数列です。等比数列の和の公式を用いて、$S_6$を求めます。

$S_6 = \frac{1(1-4^6)}{1-4} = \frac{1-4096}{-3} = \frac{-4095}{-3} = 1365$

3. 最終的な答え

(1) -6820

(2) 1365