与えられた線形方程式系を解き、解を「定ベクトル + (何本かのベクトルの、係数が任意な線形和)」の形式で表します。例に示されているように、拡大係数行列の簡約化の結果を明記する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた線形方程式系を解き、解を「定ベクトル + (何本かのベクトルの、係数が任意な線形和)」の形式で表します。例に示されているように、拡大係数行列の簡約化の結果を明記する必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 変数x, yに対し、{}

この場合は方程式がないので、すべてのxとyが解です。つまり、xとyは任意の値をとることができます。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) 変数x, yに対し、{0 = 0}

この方程式は常に成り立つため、xとyは任意の値をとることができます。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3) 変数x, yに対し、{0 = 1}

この方程式は決して成り立たないため、解は存在しません。解なし。

(4) 変数x, yに対し、{x = 1}

xは1に固定され、yは任意の値をとることができます。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(5) 変数x, yに対し、{x = x}

この方程式は常に成り立つため、xとyは任意の値をとることができます。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(6) 変数x, yに対し、{x = 2x}

これは $x = 0$ を意味します。yは任意の値をとることができます。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

(7) 変数x, yに対し、{x + 2y = 1, -3x - 6y = -3}

2番目の方程式は1番目の方程式の-3倍であるため、実質的に1つの方程式 $x + 2y = 1$ があります。したがって、$x = 1 - 2y$ です。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(8) 変数x, yに対し、{x + 2y = 1, -3x - 6y = -2}

2番目の方程式は1番目の方程式の-3倍であるはずですが、定数項が異なります。したがって、この系には解がありません。解なし。

(9) 変数x, y, zに対し、{x + 2y + 3z = -1, 2x + 2z = 2, -x + y = -2}

拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

簡約化すると

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$x + z = 1$

$y + z = -1$

したがって、$x = 1 - z$, $y = -1 - z$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(10) 変数x, y, z, wに対し、{4x - 8y + z + 5w = -2, x - 2y + 2z + 3w = 3, -3x + 6y + z - 2w = 5}

拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 4 & -8 & 1 & 5 & -2 \\ 1 & -2 & 2 & 3 & 3 \\ -3 & 6 & 1 & -2 & 5 \end{pmatrix}$

簡約化すると

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$x - 2y + w = 1$

$z + 2w = 1$

したがって、$x = 1 + 2y - w$, $z = 1 - 2w$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3) 解なし

(4) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(5) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

(7) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(8) 解なし

(9) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(10) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$