与えられた不等式を証明し、等号が成り立つ場合を調べます。 (1) $x^2 + y^2 \ge 2(x+y-1)$ (2) $x^2 + 2xy + 2y^2 \ge 0$ (3) $\frac{a^2 + b^2}{2} \ge (\frac{a+b}{2})^2$ (4) $a^2 + \frac{1}{a^2} \ge 2$ ($a \neq 0$)

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた不等式を証明し、等号が成り立つ場合を調べます。

(1) $x^2 + y^2 \ge 2(x+y-1)$

(2) $x^2 + 2xy + 2y^2 \ge 0$

(3) $\frac{a^2 + b^2}{2} \ge (\frac{a+b}{2})^2$

(4) $a^2 + \frac{1}{a^2} \ge 2$ ($a \neq 0$)

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2 \ge 2(x+y-1)$ の証明

まず、右辺を左辺に移項します。

$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 \ge 0$

次に、平方完成を行います。

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) \ge 0$

$(x-1)^2 + (y-1)^2 \ge 0$

実数の2乗は常に0以上なので、この不等式は常に成り立ちます。

等号が成り立つのは、$x-1=0$ かつ $y-1=0$ のとき、つまり、$x=1$ かつ $y=1$ のときです。

(2) $x^2 + 2xy + 2y^2 \ge 0$ の証明

平方完成を行います。

$(x^2 + 2xy + y^2) + y^2 \ge 0$

$(x+y)^2 + y^2 \ge 0$

実数の2乗は常に0以上なので、この不等式は常に成り立ちます。

等号が成り立つのは、$x+y=0$ かつ $y=0$ のとき、つまり、$x=0$ かつ $y=0$ のときです。

(3) $\frac{a^2 + b^2}{2} \ge (\frac{a+b}{2})^2$ の証明

両辺に2をかけます。

$a^2 + b^2 \ge \frac{(a+b)^2}{2}$

さらに2をかけます。

$2(a^2 + b^2) \ge (a+b)^2$

$2a^2 + 2b^2 \ge a^2 + 2ab + b^2$

$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$

$(a-b)^2 \ge 0$

実数の2乗は常に0以上なので、この不等式は常に成り立ちます。

等号が成り立つのは、$a-b=0$ のとき、つまり、$a=b$ のときです。

(4) $a^2 + \frac{1}{a^2} \ge 2$ ($a \neq 0$) の証明

相加相乗平均の関係を利用します。$a^2 > 0$ かつ $\frac{1}{a^2} > 0$ であるので、

$\frac{a^2 + \frac{1}{a^2}}{2} \ge \sqrt{a^2 \cdot \frac{1}{a^2}}$

$\frac{a^2 + \frac{1}{a^2}}{2} \ge \sqrt{1}$

$\frac{a^2 + \frac{1}{a^2}}{2} \ge 1$

$a^2 + \frac{1}{a^2} \ge 2$

等号が成り立つのは、$a^2 = \frac{1}{a^2}$ のとき、つまり、$a^4 = 1$ のときです。 $a \neq 0$ なので、$a = \pm 1$ のときです。

3. 最終的な答え

(1) 不等式 $x^2 + y^2 \ge 2(x+y-1)$ は成立する。等号成立条件は $x=1$ かつ $y=1$ 。

(2) 不等式 $x^2 + 2xy + 2y^2 \ge 0$ は成立する。等号成立条件は $x=0$ かつ $y=0$ 。

(3) 不等式 $\frac{a^2 + b^2}{2} \ge (\frac{a+b}{2})^2$ は成立する。等号成立条件は $a=b$ 。

(4) 不等式 $a^2 + \frac{1}{a^2} \ge 2$ は成立する。等号成立条件は $a=1$ または $a=-1$ 。