与えられた対数方程式 $2\log_3(3x-2) + \log_{\frac{1}{3}}(\frac{2}{3}x-\frac{1}{9}) = 2$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた対数方程式 $2\log_3(3x-2) + \log_{\frac{1}{3}}(\frac{2}{3}x-\frac{1}{9}) = 2$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、対数の底を3に統一する。$\log_{\frac{1}{3}}a = \frac{\log_3 a}{\log_3 \frac{1}{3}} = \frac{\log_3 a}{\log_3 3^{-1}} = \frac{\log_3 a}{-1} = -\log_3 a$ であるから、与式は

$2\log_3(3x-2) - \log_3(\frac{2}{3}x-\frac{1}{9}) = 2$

となる。

次に、対数の性質を用いて式を整理する。

$\log_3(3x-2)^2 - \log_3(\frac{2}{3}x-\frac{1}{9}) = 2$

$\log_3\frac{(3x-2)^2}{\frac{2}{3}x-\frac{1}{9}} = 2$

対数の定義より、

$\frac{(3x-2)^2}{\frac{2}{3}x-\frac{1}{9}} = 3^2 = 9$

$(3x-2)^2 = 9(\frac{2}{3}x-\frac{1}{9})$

$9x^2 - 12x + 4 = 6x - 1$

$9x^2 - 18x + 5 = 0$

この2次方程式を解く。

$(3x-1)(3x-5) = 0$

$x = \frac{1}{3}, \frac{5}{3}$

次に、対数の真数条件を考慮して解を検証する。

真数条件は、$3x-2 > 0$ かつ $\frac{2}{3}x - \frac{1}{9} > 0$ を満たす必要がある。

$3x > 2 \implies x > \frac{2}{3}$

$\frac{2}{3}x > \frac{1}{9} \implies x > \frac{1}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{6}$

したがって、$x > \frac{2}{3}$ でなければならない。

$x = \frac{1}{3}$ は $x > \frac{2}{3}$ を満たさないので不適。

$x = \frac{5}{3}$ は $x > \frac{2}{3}$ を満たす。

$x = \frac{5}{3}$ を元の式に代入して確認する。

$2\log_3(3(\frac{5}{3})-2) + \log_{\frac{1}{3}}(\frac{2}{3}(\frac{5}{3})-\frac{1}{9}) = 2\log_3(5-2) + \log_{\frac{1}{3}}(\frac{10}{9}-\frac{1}{9}) = 2\log_3 3 + \log_{\frac{1}{3}}1 = 2(1) + 0 = 2$

したがって、$x = \frac{5}{3}$ は解である。

3. 最終的な答え

$x = \frac{5}{3}$