整式Aを整式Bで割ったときの商と余りを求め、等式で表す問題です。 (1) $A = 2x^4 - x^3 + x^2 + 14x - 4$, $B = 2x^2 + 3x - 1$ (2) $A = 8x^3 + 4x + 1$, $B = 2x - 1$

1. 問題の内容

整式Aを整式Bで割ったときの商と余りを求め、等式で表す問題です。

(1) $A = 2x^4 - x^3 + x^2 + 14x - 4$, $B = 2x^2 + 3x - 1$

(2) $A = 8x^3 + 4x + 1$, $B = 2x - 1$

2. 解き方の手順

多項式の割り算を行います。

(1) $A = 2x^4 - x^3 + x^2 + 14x - 4$, $B = 2x^2 + 3x - 1$

まず、$A$を$B$で割ります。

```

x^2 - 2x + 3

2x^2+3x-1 | 2x^4 - x^3 + x^2 + 14x - 4

-(2x^4 + 3x^3 - x^2)

----------------------

-4x^3 + 2x^2 + 14x

-(-4x^3 - 6x^2 + 2x)

----------------------

8x^2 + 12x - 4

-(8x^2 + 12x - 4)

----------------------

0

```

したがって、商は$x^2 - 2x + 4$、余りは0です。

よって、$A = BQ + R$の形で表すと、

$2x^4 - x^3 + x^2 + 14x - 4 = (2x^2 + 3x - 1)(x^2 - 2x + 4) + 0$

(2) $A = 8x^3 + 4x + 1$, $B = 2x - 1$

```

4x^2 + 2x + 3

2x-1 | 8x^3 + 0x^2 + 4x + 1

-(8x^3 - 4x^2)

----------------

4x^2 + 4x

-(4x^2 - 2x)

----------------

6x + 1

-(6x - 3)

----------------

4

```

したがって、商は$4x^2 + 2x + 3$、余りは4です。

よって、$A = BQ + R$の形で表すと、

$8x^3 + 4x + 1 = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 3) + 4$

3. 最終的な答え

(1) 商: $x^2 - 2x + 4$, 余り: $0$

$2x^4 - x^3 + x^2 + 14x - 4 = (2x^2 + 3x - 1)(x^2 - 2x + 4)$

(2) 商: $4x^2 + 2x + 3$, 余り: $4$

$8x^3 + 4x + 1 = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 3) + 4$