与えられた問題は、以下の3つの問題から構成されています。 * **問6**: 2次関数の最大値または最小値と、そのときの $x$ の値を求める。 1. $y = x^2 - 2x - 2$ (最小値) 2. $y = -3x^2 + 4x + 2$ (最大値) * **問7**: 2次関数が $y = 0$ となる $x$ の値を求める。 1. $y = x^2 - 2x - 2$ 2. $y = 3x^2 + 4x + 1$ * **問8**: 点 $(3, 4)$ と直線 $y = 2x + 1$ の間の距離を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の3つの問題から構成されています。

* **問6**: 2次関数の最大値または最小値と、そのときの $x$ の値を求める。

1. $y = x^2 - 2x - 2$ (最小値)

2. $y = -3x^2 + 4x + 2$ (最大値)

* **問7**: 2次関数が $y = 0$ となる $x$ の値を求める。

1. $y = x^2 - 2x - 2$

2. $y = 3x^2 + 4x + 1$

* **問8**: 点 $(3, 4)$ と直線 $y = 2x + 1$ の間の距離を求める。

2. 解き方の手順

**問6**

1. 与えられた2次関数を平方完成する。

* $y = x^2 - 2x - 2$ の場合:

$y = (x - 1)^2 - 1 - 2 = (x - 1)^2 - 3$

* $y = -3x^2 + 4x + 2$ の場合:

$y = -3(x^2 - \frac{4}{3}x) + 2 = -3(x - \frac{2}{3})^2 + 3(\frac{4}{9}) + 2 = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + 2 = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{10}{3}$

2. 平方完成した式から、最大値または最小値と、そのときの $x$ の値を読み取る。

* $y = (x - 1)^2 - 3$ の場合、最小値は $-3$ で、$x = 1$ のとき。

* $y = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{10}{3}$ の場合、最大値は $\frac{10}{3}$ で、$x = \frac{2}{3}$ のとき。

**問7**

1. 与えられた2次関数が $y = 0$ となる $x$ の値を求めるため、2次方程式を解く。

* $y = x^2 - 2x - 2 = 0$ の場合:

解の公式を用いる:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

* $y = 3x^2 + 4x + 1 = 0$ の場合:

因数分解できる：$(3x + 1)(x + 1) = 0$

$x = -\frac{1}{3}, -1$

**問8**

1. 点と直線の距離の公式を用いる。直線の方程式を一般形 $ax + by + c = 0$ に変形する。

$y = 2x + 1$ を変形すると $2x - y + 1 = 0$となるので、$a = 2$, $b = -1$, $c = 1$。

点 $(3, 4)$ と直線 $2x - y + 1 = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

$d = \frac{|2(3) - 1(4) + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 - 4 + 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

**問6**

1. 最小値: $-3$, $x = 1$

2. 最大値: $\frac{10}{3}$, $x = \frac{2}{3}$

**問7**

1. $x = 1 \pm \sqrt{3}$

2. $x = -\frac{1}{3}, -1$

**問8**

$\frac{3\sqrt{5}}{5}$