与えられた2次関数 $y = x^2 - 2kx + 2k + 3$ のグラフをCとする。 (a) Cとx軸が異なる2点で交わるようなkの値の範囲を求める。 (b) Cがx軸の$-2 < x < 4$の部分と異なる2点で交わるようなkの値の範囲を求める。 (c) Cがx軸の$-2 < x < 4$の部分と1点でのみ交わるようなkの値の範囲を求める。ただし、Cがx軸と接する場合は考えない。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = x^2 - 2kx + 2k + 3$ のグラフをCとする。

(a) Cとx軸が異なる2点で交わるようなkの値の範囲を求める。

(b) Cがx軸の$-2 < x < 4$の部分と異なる2点で交わるようなkの値の範囲を求める。

(c) Cがx軸の$-2 < x < 4$の部分と1点でのみ交わるようなkの値の範囲を求める。ただし、Cがx軸と接する場合は考えない。

2. 解き方の手順

(a) Cとx軸が異なる2点で交わる条件は、判別式D > 0である。

$D = (-2k)^2 - 4(2k + 3) = 4k^2 - 8k - 12 > 0$

$k^2 - 2k - 3 > 0$

$(k - 3)(k + 1) > 0$

よって、$k < -1$ または $k > 3$

(b) $f(x) = x^2 - 2kx + 2k + 3$ とする。

Cがx軸の$-2 < x < 4$の部分と異なる2点で交わる条件は、

(i) $D > 0$

(ii) $f(-2) > 0$

(iii) $f(4) > 0$

(iv) $-2 < k < 4$ (軸の位置)

(i) より $k < -1$ または $k > 3$

(ii) $f(-2) = (-2)^2 - 2k(-2) + 2k + 3 = 4 + 4k + 2k + 3 = 6k + 7 > 0$

$k > -\frac{7}{6}$

(iii) $f(4) = (4)^2 - 2k(4) + 2k + 3 = 16 - 8k + 2k + 3 = -6k + 19 > 0$

$k < \frac{19}{6}$

(iv) $-2 < k < 4$

(i)～(iv)をすべて満たすkの範囲を求める。

$-\frac{7}{6} < k < -1$, $3 < k < \frac{19}{6}$

(c) Cがx軸の$-2 < x < 4$の部分と1点でのみ交わる条件は、

(i) $f(-2)f(4) < 0$

$f(-2)f(4) = (6k+7)(-6k+19) < 0$

$(6k+7)(6k-19) > 0$

$k < -\frac{7}{6}$ または $k > \frac{19}{6}$

または、

(ii) $f(-2) = 0$ かつ $-2 < k < 4$ または $f(4) = 0$ かつ $-2 < k < 4$

$f(-2) = 6k+7 = 0$ のとき $k = -\frac{7}{6}$

$f(4) = -6k+19 = 0$ のとき $k = \frac{19}{6}$

ただし、Cがx軸と接する場合は考えないので、$D>0$より$k\neq\frac{-7}{6}$と$k\neq\frac{19}{6}$。

よって、$k \le -\frac{7}{6}$または$k \ge \frac{19}{6}$

3. 最終的な答え

(a) ア: -1, イ: 3

(b) ウ: -7, エ: 6, オ: -1, カ: 3, キ: 1, ク: 9, ケ: 6

(c) コ: 7, サ: 6, シ: 1, ス: 9, セ: 6