与えられた数列の第 $k$ 項を $k$ の式で表し、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。具体的には、以下の3つの数列について考える。 (1) $2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8, \dots$ (2) $1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$ (3) $1^2, 1^2+2^2, 1^2+2^2+3^2, 1^2+2^2+3^2+4^2, \dots$

## 問題60 解答

1. 問題の内容

与えられた数列の第 $k$ 項を $k$ の式で表し、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。具体的には、以下の3つの数列について考える。

(1) $2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8, \dots$

(2) $1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$

(3) $1^2, 1^2+2^2, 1^2+2^2+3^2, 1^2+2^2+3^2+4^2, \dots$

2. 解き方の手順

(1)

数列の第 $k$ 項は、初項が $2$、公差が $2$ の等差数列の初項から第 $k$ 項までの和である。したがって、第 $k$ 項 $a_k$ は、

$a_k = \sum_{i=1}^{k} 2i = 2 \sum_{i=1}^{k} i = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1) = k^2+k$

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2+k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{6} (2n+1+3) = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(2)

数列の第 $k$ 項は、初項が $1$、公比が $3$ の等比数列の初項から第 $k$ 項までの和である。したがって、第 $k$ 項 $a_k$ は、

$a_k = \sum_{i=0}^{k-1} 3^i = \frac{1(3^k-1)}{3-1} = \frac{3^k-1}{2}$

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{3^k-1}{2} = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} 3^k - \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{3(3^n-1)}{3-1} - n \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3^{n+1}-3}{2} - n \right) = \frac{3^{n+1}-3-2n}{4}$

(3)

数列の第 $k$ 項は、各項が $i^2$ で表される数列の初項から第 $k$ 項までの和である。したがって、第 $k$ 項 $a_k$ は、

$a_k = \sum_{i=1}^{k} i^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} = \frac{1}{6} \sum_{k=1}^{n} (2k^3+3k^2+k)$

$= \frac{1}{6} \left( 2 \sum_{k=1}^{n} k^3 + 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k \right)$

$= \frac{1}{6} \left[ 2 \left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\}^2 + 3 \left\{ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right\} + \frac{n(n+1)}{2} \right]$

$= \frac{n(n+1)}{12} \left[ n(n+1) + (2n+1) + 1 \right] = \frac{n(n+1)}{12} \left[ n^2+n+2n+2 \right] = \frac{n(n+1)(n^2+3n+2)}{12}$

$= \frac{n(n+1)(n+1)(n+2)}{12} = \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$

3. 最終的な答え

(1) 第 $k$ 項: $k^2+k$, 初項から第 $n$ 項までの和: $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(2) 第 $k$ 項: $\frac{3^k-1}{2}$, 初項から第 $n$ 項までの和: $\frac{3^{n+1}-3-2n}{4}$

(3) 第 $k$ 項: $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$, 初項から第 $n$ 項までの和: $\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$