与えられた整式の組について、最大公約数と最小公倍数をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた整式の組について、最大公約数と最小公倍数をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $4ab^3$, $2a^2bc$, $6a^3b^2c^2$

- 最大公約数：

- 係数の最大公約数は、$4, 2, 6$ の最大公約数で $2$ です。

- $a$ の最小の指数は $1$ です。

- $b$ の最小の指数は $1$ です。

- $c$ の最小の指数は $0$ です。

- よって、最大公約数は $2ab$ です。

- 最小公倍数：

- 係数の最小公倍数は、$4, 2, 6$ の最小公倍数で $12$ です。

- $a$ の最大の指数は $3$ です。

- $b$ の最大の指数は $3$ です。

- $c$ の最大の指数は $2$ です。

- よって、最小公倍数は $12a^3b^3c^2$ です。

(2) $x(x-1)$, $(x-1)^2$

- 最大公約数：

- $x(x-1)$ と $(x-1)^2$ の共通因数は $(x-1)$ です。

- よって、最大公約数は $x-1$ です。

- 最小公倍数：

- $x$ と $(x-1)^2$ を掛け合わせます。

- よって、最小公倍数は $x(x-1)^2$ です。

(3) $x^2+x-2$, $x^4+2x^2-3$

- $x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$

- $x^4+2x^2-3 = (x^2+3)(x^2-1) = (x^2+3)(x+1)(x-1)$

- 最大公約数：

- 共通因数は $(x-1)$ です。

- よって、最大公約数は $x-1$ です。

- 最小公倍数：

- $(x+2)(x-1)(x^2+3)(x+1)$

- よって、最小公倍数は $(x+2)(x-1)(x^2+3)(x+1) = (x+2)(x+1)(x-1)(x^2+3)$ です。

(4) $x^2+2x$, $x^2+x-2$, $x^2+4x+4$

- $x^2+2x = x(x+2)$

- $x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$

- $x^2+4x+4 = (x+2)^2$

- 最大公約数：

- 共通因数は $(x+2)$ です。

- よって、最大公約数は $x+2$ です。

- 最小公倍数：

- $x(x+2)^2(x-1)$

- よって、最小公倍数は $x(x+2)^2(x-1)$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最大公約数：$2ab$, 最小公倍数：$12a^3b^3c^2$

(2) 最大公約数：$x-1$, 最小公倍数：$x(x-1)^2$

(3) 最大公約数：$x-1$, 最小公倍数：$(x+2)(x+1)(x-1)(x^2+3)$

(4) 最大公約数：$x+2$, 最小公倍数：$x(x+2)^2(x-1)$