与えられた等比数列の初項から第n項までの和 $S_n$ を求める問題です。 (1) 初項が3、公比が2の場合 (2) 等比数列 4, -2, 1, -1/2, ... の場合

1. 問題の内容

与えられた等比数列の初項から第n項までの和 $S_n$ を求める問題です。

(1) 初項が3、公比が2の場合

(2) 等比数列 4, -2, 1, -1/2, ... の場合

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を使用します。初項を $a$ 、公比を $r$ とすると、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、 $r \neq 1$ のとき、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

で与えられます。

(1)

初項 $a = 3$, 公比 $r = 2$ なので、

$S_n = \frac{3(1-2^n)}{1-2} = \frac{3(1-2^n)}{-1} = 3(2^n - 1)$

(2)

初項 $a = 4$, 公比 $r = -1/2$ なので、

$S_n = \frac{4(1-(-1/2)^n)}{1-(-1/2)} = \frac{4(1-(-1/2)^n)}{3/2} = \frac{8}{3}(1-(-1/2)^n)$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = 3(2^n - 1)$

(2) $S_n = \frac{8}{3}(1-(-\frac{1}{2})^n)$