与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、式を展開する。

$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = a^2b + abc + a^2c + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + ac^2 - abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$

次に、$a$ について整理する。

$= (b+c)a^2 + (b^2+c^2+2bc)a + (b^2c+bc^2)$

$= (b+c)a^2 + (b+c)^2 a + bc(b+c)$

$= (b+c)[a^2 + (b+c)a + bc]$

$= (b+c)(a^2+ba+ca+bc)$

$= (b+c)[a(a+b)+c(a+b)]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$