与えられた2つの式を因数分解します。 (1) $a^2 + ab + 2a + b + 1$ (2) $a^2 + ab - 3a - 2b + 2$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解します。

(1) $a^2 + ab + 2a + b + 1$

(2) $a^2 + ab - 3a - 2b + 2$

2. 解き方の手順

(1) $a^2 + ab + 2a + b + 1$ を因数分解します。

まず、$a$について整理します。

$a^2 + (b + 2)a + (b + 1)$

これは、$x^2 + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)$ の形をしています。

$b+1 = 1*(b+1)$なので、

$b+2 = 1 + (b+1)$

よって、

$a^2 + (b + 2)a + (b + 1) = (a + 1)(a + b + 1)$

(2) $a^2 + ab - 3a - 2b + 2$ を因数分解します。

$a$について整理します。

$a^2 + (b-3)a - (2b - 2)$

たすき掛けを試みます。

$1 * 2(b-1) = 2b - 2$

$1 * -2(b-1) = -2b + 2$

$a^2 + (b-3)a - 2(b - 1)$

因数分解の形を仮定すると、

$(a + x)(a + y) = a^2 + (x+y)a + xy$

$x + y = b - 3$

$xy = -2(b - 1) = -2b + 2$

少し工夫して、$a^2 + ab - 3a - 2b + 2 = a^2 - 3a + ab -2b + 2 = a(a-3) + b(a - 2) + 2$ としても因数分解できません。

他の方法を試します。式を少し変形して、

$a^2 + ab - 3a - 2b + 2 = (a^2 - a - 2) + (ab - 2a - 2b + 4) + 2a - 2$

$= (a-2)(a+1) + b(a-2) - (3a-3) = (a-2)(a+1+b)-3(a-1)$

うまくいきません。

$a^2 + ab - 3a - 2b + 2 = a^2 + (b-3)a - 2(b-1)$

$a^2 + (b-3)a + (2-2b)$

$(a -2 )(a +1 )+ b a -2 a - 2b - 2$

$a^2+(b-3)a-2b+2=(a-2)(a+1) +ba-2b$

$a^2+(b-3)a+(2-2b)$

$a$について整理すると, $a^2 + (b-3)a + (-2b + 2)$.

定数項を $-2(b-1)$ と因数分解すると,

$x y = -2(b - 1)$ $x+y = b-3$となるxとyを探せばよい。

$(-2, b -1)$　　$(a - 2)(a + b - 1)= a*2 +(b-1)*a -2a -2b-1$

3. 最終的な答え

(1) $(a + 1)(a + b + 1)$

(2) 因数分解できません。しかし、式に誤りがあると仮定し、$a^2 + ab - 3a - 2b + 6$だった場合、$a^2 - 3a + ab -2b + 6 = (a-2)(a-1)$

$a^2 + ab -3a -2b +6 = (a + b - 3)(a-2)$

しかし問題は$a^2 + ab -3a -2b +2$ なので、そのままではこれ以上因数分解できません。

(2)　(a -2) (a+ b - 1)