$x^2 + (y+4)x + (-2y^2 + 5y + 3)$

## 問題の解答

### (1) 問題の内容

与えられた式 $x^2 + xy - 2y^2 + 4x + 5y + 3$ を因数分解します。

### (1) 解き方の手順

1. まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (y+4)x + (-2y^2 + 5y + 3)$

2. 定数項 $-2y^2 + 5y + 3$ を因数分解します。

$-2y^2 + 5y + 3 = -(2y^2 - 5y - 3) = -(2y+1)(y-3) = (-2y-1)(y-3)$

3. 因数分解の形を $(x + A)(x + B)$ とおくと、$A + B = y + 4$ かつ $AB = (-2y-1)(y-3)$ となる $A$ と $B$ を見つけます。

$A = y+1$、$B = -2y+3$ とすると、

$A + B = (y+1) + (-2y+3) = -y + 4$ (これは違う)

$A = -2y-1$、$B = y-3$ とすると、

$A + B = (-2y-1) + (y-3) = -y - 4$ (これも違う)

$A = -2y - 1$、$B = y + 3$ とすると、

$A+B = (-2y-1)+(y+3) = -y + 2$ (これも違う)

$x^2 + (y+4)x + (-2y^2 + 5y + 3) = (x+ay+b)(x+cy+d)$となるように$a,b,c,d$を求める。

$x^2+(a+c)xy+(b+d)x+ac y^2+(ad+bc)y+bd=x^2 + xy - 2y^2 + 4x + 5y + 3$

$a+c = 1$, $ac=-2$, $b+d=4$, $ad+bc=5$, $bd = 3$.

$a = 2$, $c = -1$, $b = 1$, $d = 3$

$(x+2y+1)(x-y+3) = x^2-xy+3x+2xy-2y^2+6y+x-y+3 = x^2+xy-2y^2+4x+5y+3$

よって、

$x^2 + xy - 2y^2 + 4x + 5y + 3 = (x + 2y + 1)(x - y + 3)$

### (1) 最終的な答え

$(x + 2y + 1)(x - y + 3)$

### (2) 問題の内容

与えられた式 $3x^2 + 4xy + y^2 + x - y - 2$ を因数分解します。

### (2) 解き方の手順

1. 与式を $x$ について整理します。

$3x^2 + (4y+1)x + (y^2-y-2)$

2. 定数項 $y^2-y-2$ を因数分解します。

$y^2 - y - 2 = (y-2)(y+1)$

3. 因数分解の形を $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ とおくと、$ad=3$, $be=1$, $cf=-2$ となる $a, b, c, d, e, f$ を見つけます。

$3x^2 + (4y+1)x + (y-2)(y+1) = (3x+ay+b)(x+cy+d)$とおく。

$3x^2+3cxy+3dx+axy+acy^2+ady+bx+bcy+bd = 3x^2 + (3c+a)xy + (3d+b)x + acy^2 + (ad+bc)y+bd=3x^2 + 4xy + y^2 + x - y - 2$

$ac=1, 3c+a=4, 3d+b=1, ad+bc=-1, bd=-2$.

$a=1, c=1, b=2, d=-1/3$ (だめ)

$a=y, c=y, \dots$

$(3x+y+2)(x+y-1)=3x^2+3xy-3x+xy+y^2-y+2x+2y-2 = 3x^2+4xy+y^2-x+y-2$

$(3x+y-1)(x+y+2)=3x^2+3xy+6x+xy+y^2+2y-x-y-2 = 3x^2+4xy+y^2+5x+y-2$

$(3x+y+a)(x+y+b) = 3x^2+3xy+3xb+xy+y^2+yb+ax+ay+ab=3x^2+4xy+y^2+(3b+a)x+(b+a)y+ab=3x^2 + 4xy + y^2 + x - y - 2$

$ab=-2$, $3b+a=1$, $b+a=-1$.

$3b+a-(b+a)=1-(-1) \to 2b = 2 \to b=1, a=-2$.

$(3x+y-2)(x+y+1)=3x^2+3xy+3x+xy+y^2+y-2x-2y-2 = 3x^2+4xy+y^2+x-y-2$

### (2) 最終的な答え

$(3x + y - 2)(x + y + 1)$