与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は $\frac{1}{1+\sqrt{6}-\sqrt{7}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は $\frac{1}{1+\sqrt{6}-\sqrt{7}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母を $(1+\sqrt{6}) - \sqrt{7}$ と見て、 $(1+\sqrt{6}) + \sqrt{7}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{1+\sqrt{6}-\sqrt{7}} = \frac{1}{1+\sqrt{6}-\sqrt{7}} \times \frac{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}$

$= \frac{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}{(1+\sqrt{6})^2 - (\sqrt{7})^2}$

$= \frac{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}{(1 + 2\sqrt{6} + 6) - 7}$

$= \frac{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}{1 + 2\sqrt{6} + 6 - 7}$

$= \frac{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}{2\sqrt{6}}$

次に、分母の有理化のため $\sqrt{6}$ を分子と分母に掛けます。

$= \frac{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}{2\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

$= \frac{\sqrt{6} + 6 + \sqrt{42}}{2 \times 6}$

$= \frac{\sqrt{6} + 6 + \sqrt{42}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{6 + \sqrt{6} + \sqrt{42}}{12}$