与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開し、整理して簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開し、整理して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)(b+c)$ を展開します。

$(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc$

次に、得られた結果と $(c+a)$ を掛け合わせます。

$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

これを整理すると、

$2abc + a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2$

最後に、$abc$ を加えます。

$2abc + a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + abc = 3abc + a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2$

さらに整理するため、$a, b, c$ について対称な形にすることを考えます。

$3abc + a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 = (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

$= (a+b)(bc+ba+c^2+ca)+abc$

$= abc+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+ab^2+bc^2+abc+abc$

$= a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+3abc$

ここで、因数分解を試みます。

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b + abc + a^2c + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + ac^2 = a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 3abc$

したがって、

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 3abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$